逆矩阵的Jordan标准形的计算方法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）逆矩阵的Jordan标准形的计算方法周永安，秦建国，王力（郑州轻工业学院数学与信息科学系,郑州，450002，中国）摘要方阵A的Jordan标准形是与A相似的矩阵中最简单的矩阵。本文以为基础，求得了与相似的的表达式，求得了的Jordan分解式，还给出了对进行相似变换将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示。关键词逆矩阵/相似矩阵/Jordan标准形CalculationMethodfortheJordanCanonicalformofAnInverseMatrixYonganZHOU，Jian-guoQIN，LiWANG(Departmentofmathematicsandinformationscience,ZhengzhouUniversityofLightIndustry,Zhengzhou,450002,China)AbstractJordancanonicalformofsquarematrixAisthemostsimplestmatrixsimilartoA.Basedontheresultthat,whichissimilartoandtheJordandecompositionformulaofarefound,aswellasthegracefulexpressionofthesimilartransformationmatrixQturningtoitsJordancanonicalformisalsoobtained.Keywordsinversematrix,similarmatrix,Jordancanonicalform1引言与概念矩阵已成为各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具.而与方阵A相似的矩阵中，A的Jordan标准形是最简单的.它堪称A的一张名片，因为A的行列式，谱，A的特征值的代数重数与几何重数及其指标，A的最小多项式等A的固有的属性都可以从方阵A的Jordan标准形上一眼看出.文[1]给出了方阵A有Jordan分解的结论，文[2]从新的角度研究了A的Jordan分解(其中是A的Jordan标准形),文[3]将这一结果推广至四元数矩阵，本文以已知结果A有Jordan分解出发，研究的求法及其表达方式，给出的Jordan分解式，使得我们可以直接得到的Jordan分解式；还将给出对进行相似变换并将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示.本文仅研究可逆矩阵的情形，并以分别表示n阶单位矩阵与n阶上位移矩阵.2相关概念及性质定义1称形如（为复数）(1)的m阶方阵为Jordan块，其中为m阶上位移矩阵.定义2设为n阶方阵，为m阶方阵，则称（n+m）阶方阵为A与B的直和，记作,其中.(2)定义3若矩阵J是若干个Jordan块的直和：.(3)其中，则称n阶方阵J为Jordan矩阵.与矩阵A相似的Jordan矩阵称为矩阵A的Jordan标准形.3逆矩阵的Jordan标准形3.1逆矩阵的Jordan标准形众所周知，对于n阶矩阵A，若，依次有代数重数及几何重数时，存在n阶可逆矩阵P，使,(4)其中，.定理1：设(4)为已知，则，其中.（5）证明：由(4)式，得.经过计算，可得下述Toeplitz矩阵：=，（6）.定理2，存在阶的可逆矩阵，使,.(7)证明（a）对于形如(6)式的矩阵，取为如下形式（8）其中的第k()列为，是第个维的单位坐标列向量.直接计算可知，，。（b）利用（8）式，有n阶可逆矩阵，使的Jordan标准形为(9)其中，是个阶数分别是且以为主对角线上的元素的Jordan块作成的的子Jordan矩阵,.3.2例设，.由定理1，试求定理2中的，使.解按定理2,使.参考文献[1]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京：科学出版社，2007.08，25-26.[2]王英.若而当标准形问题新探[J]湖南理工学院学报(自然科学版),2007,20(1)::17-19.[3]陈龙玄,侯仁民,王亮涛.四元数矩阵的Jordan标准形[J].应用数学和力学,1996,17(6):533-542.[4]于寅.高等工程数学[M].武汉：华中科技大学出版社，2001.10，82[5]RAHorn,CRJohnson.MatrixAnalysis[M].Cambridge:CambridgeUniversity,Press,19947烟气露点计算及烟囱冷凝水量计算方法及结果7.1烟气中水蒸汽露点温度的计算当已知烟气中的含湿量dg(g/kg