第27卷湖北师范学院学报(自然科学版)Vol127第3期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No13,2007正态模型参数的后验分布及其抽样算法李开灿1,陈浩明2(1.湖北师范学院数学系,湖北黄石435002;2.华中师范大学数学与统计学院,湖北武汉430074)摘要:当正态线性模型中的参数取Jeffreys先验分布时,得到了回报系数和误差方差的联合后验分布和边际后验分布,还特别导出了回归系数某种二次型的分布。利用回归系数和误差方差联合后验分布的分解形式,给出了它们的一种抽样方案。关键词:线性模型;先验分布;回归系数;抽样中图分类号:O212.4文献标识码:A文章编号:1009-2714(2007)03-0001-050引言在线性模型中,回归系数和误差的方差是十分重要的待估参数,在对它们进行Bayes分析时,对于给定的先验分布,导出相应的后验分布密度,研究这些后验分布相关的抽样算法对实际问题的数据分析是十分有用的。尽管人们对线性模型中未知参数的Bayes分析有过许多讨论,如文献[1]、[2],但是对于回归系数和误差的方差后验分布的表示形式不是很完整,同时很多推导计算都没有明确写出,这些问题一方面使人们不好进一步的利用相关的结果分析实际数据,另一方面,也从一个侧面阻止了人们研究这些参数的性质。本文将依照Bayes分析的观点研究两个问题,其一是在一些方便的记号下,对参数Jeffreys先验分布时,严格推导了线性模型中回归系数和误差方差的联合后验分布和边际后验分布的密度函数形式,这些结果以前都是不太受人关注的,其二是从这些密度函数的表达式,找出一种后验分布的抽样方案。以前的研究也只是停留在抽样分布的形式上,并没有设计这个分布的抽样方案,从后面的结果看这种抽样方案的设计,用于实际问题的统计推断是完全可行的,所以本文的结果也是有意义的。在本文中,我们先给与线性模型相关的几个常见分布形式,如逆V2分布、多元t-分布。然后介绍线性模型的相关记号和回归系数,误差方差的似然函数的表达式。在推导这些未知参数的后验分布密度形式,给出线性模型未知参数后验分布的抽样方案。1预备知识本文假设所讨论的线性模型是如下形式:Y=XB+E(1)其中,Y是n@1维的观测向量,X是一个已知的n@m阶的设计矩阵,B是m@1维的未知回归系数向2量,E=(E1,E2,,,En)c是n@1维的误差向量,E~Nn(0,RI),R是未知参数,I是n@n的单位矩阵。设母体的密度为f(y|H),H是未知参数,参数空间是(1为了作Bayes分析时描述方便,本文均假收稿日期:2007)03)19基金项目:湖北省中青年创新团队项目(2005A03),湖北省教育厅重点项目(D200622001)作者简介:李开灿(1962)),男,湖北武汉人,教授,研究方向为数理统计.#1#设它是连续型随机变量,离散型的情形作简单变换,也可以得到相应的结论。若yi,i=1,2,,,n是来自母体的一组样本,记Y=(y1,y2,,,yn)c,用L(H|Y)表示参数H的似然函数,那么它是正比于nf(yi|H)的一个函数,按Bayes分析方式,若给定H的先验分布密度是p(H),则H的后验分布密Fi=1度是p(H|Y)=cp(H)L(H|Y),这里c-1=p(H)L(H|Y)dH.为了得到线性模型(1)中参数的后验(Q分布,先给出下列一些重要分布形式。定义1若随机变量N有密度函数1n-1-nx2e2,x>0nn22#()g(x|n)=20,其它其中#(A)是常见的#函数,那么称N服从自由度是n的V2分布,记为N~V2(n)1注1本文使用V-2(n)表示V2(n)商逆的分布,即若N~V2(n),则N-1~V-2(n),另一方面,若N~-2-2-2-2V(n),A是非零常数,AN的分布记作AV(n)。由此不难得出V(n)和AV(n)的密度函数分别是n1-n-1-1A2-n-1-Ax2e2x,x>0;x2e2x,x>0;nn2n2ng1(x|n)=2#()g2(x|n)=2#()220其它;0其它;为了证明的需要,先复述以下多元t分布:定义2设H为k@1维的随机向量,称H服从多元t分布,记作H~tv(L,2),若H有密度函数#((v+k)/2)-1/21T-1-(v+k)/2p(H)=k/2k/2|2|(1+(H-L)2(H-L))#(v/2)vPv其中,-]<Hi<+],-]<Li<+],i=1,,,k,v>0是自然数.注当k=v=1时,多元t分布转化为一元Cauchy分布。当H~tv(L,)2)时