抽象函数得对称性与周期性一、抽象函数得对称性定理1、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b－x),则函数y=f(x)得图象关于直线x=对称。推论1、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(a－x)(或f(2a－x)=f(x)),则函数y=f(x)得图像关于直线x=a对称。推论2、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(a－x),又若方程f(x)=0有n个根,则此n个根得与为na。定理2、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b－x)=c,(a,b,c为常数),则函数y=f(x)得图象关于点对称。推论1、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(a－x)=0,(a为常数),则函数y=f(x)得图象关于点(a,0)对称。定理3、若函数y=f(x)定义域为R,则函数y=f(a+x)与y=f(b－x)两函数得图象关于直线x=对称。定理4、若函数y=f(x)定义域为R,则函数y=f(a+x)与y=c－f(b－x)两函数得图象关于点对称。性质1:对函数y=f(x),若f(a+x)=－f(b－x)成立,则y=f(x)得图象关于点(,0)对称。性质2:函数y=f(x－a)与函数y=f(a－x)得图象关于直线x=a对称。性质3:函数y=f(a+x)与函数y=f(a－x)得图象关于直线x=0对称。性质4:函数y=f(a+x)与函数y=－f(b－x)图象关于点(,0)对称。二、抽象函数得周期性定理5、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件f(x＋a)=f(x－b),则y=f(x)就是以T=a＋b为周期得周期函数。定理6、若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件f(x＋a)=－f(x－b),则y=f(x)就是以T=2(a＋b)为周期得周期函数。定理7、若函数y=f(x)得图象关于直线x=a与x=b(a≠b)对称,则y=f(x)就是以T=2(b－a)为周期得周期函数。定理8、若函数y=f(x)得图象关于点(a,0)与点(b,0),(a≠b)对称,则y=f(x)就是以T=2(b－a)为周期得周期函数。定理9、若函数y=f(x)得图象关于直线x=a与点(b,0),(a≠b)对称,则y=f(x)就是以T=4(b－a)为周期得周期函数。性质1:若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b);性质2:若函数f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x),(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b)、特别:若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)(a≠0)且f(x)就是偶函数,则函数f(x)有周期2a、性质3:若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数有周期4(a－b)、特别:若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)(a≠0)且f(x)就是奇函数,则函数f(x)有周期4a。例1.已知定义在上得奇函数满足,则得值为例2.已知函数就是周期为得函数,当时,,当时,得解析式就是例3、设就是定义在上以为周期得函数,在内单调递减,且得图像关于直线对称,则下面正确得结论就是例4、设就是定义在上1.已知定义为R得函数满足,且函数在区间上单调递增、如果,且,则得值()、A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负、例5、在R上定义得函数就是偶函数,且、若在区间上就是减函数,则()A、在区间上就是增函数,在区间上就是减函数B、在区间上就是增函数,在区间上就是减函数C、在区间上就是减函数,在区间上就是增函数D、在区间上就是减函数,在区间上就是增函数例6.已知函数得图象关于直线与都对称,且当时,、求得值、13.设ｆ(ｘ)就是定义在R上得偶函数,其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１,ｘ２∈［０］,都有ｆ(ｘ１＋ｘ２)＝ｆ(ｘ１)·ｆ(ｘ２),且f(1)=ａ＞０.(Ⅰ)求ｆ;(Ⅱ)证明ｆ(ｘ)就是周期函数;练习:1、设偶函数对任意,都有,且当时,,则2.就是定义在上得以为周期得奇函数,且在区间内解得个数得最小值就是3.定义在上得函数既就是奇函数,又就是周期函数,就是它得一个正周期.若将方程在闭区间上得根得个数记为,则可能为4、已知函数为上得奇函数,且满足,当时,,则等于()5、函数对于任意实数满足条件,若,则6、已知就是周期为得奇函数,当时,设则8、设就是定义在上得奇函数,且得图象关于直线对称,则9(广东)设函数在上满足,,且在闭区间上,只有.(Ⅰ)试判断函数得奇偶性;