学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列语句中正确的是________．(填序号)①l⊥α⇒l与α相交；②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α.【解析】①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n，又l⊥α，∴n⊥α.【答案】①③2．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．【解析】如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.【答案】菱形3．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则AC与BD的位置关系是________．【解析】∵DA⊥α，∴DA⊥AC.又AC⊥AB，AB∩DA＝A，∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥BD.【答案】垂直4．如图1­2­66，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为eq\r(2)，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是________．图1­2­66【解析】取AC的中点D，连结DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝eq\f(\r(3),2).在△DCC1中，易得DC1＝eq\f(3,2)，在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝eq\f(BD,DC1)＝eq\f(\r(3),3)，即∠BC1D＝30°.【答案】30°5．对于四面体A­BCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________.【导学号：60420025】【解析】对于命题①，取BC的中点E，连结AE，DE，则BC⊥AE，BC⊥DE，且AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE.∵AD⊂平面ADE，∴BC⊥AD.对于④，过A向平面BCD作垂线AO，如图所示．连结BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF⊥BD，∴O为△BCD的重心，连结DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD.【答案】①④6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是__________．【解析】如图所示，作PD⊥BC于D，连结AD.∵PA⊥△ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).【答案】4eq\r(5)7．如图1­2­67，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为__________．图1­2­67【解析】∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B，又AM⊂平面AA1B1B，∴AM⊥BC.【答案】垂直8．如图1­2­68所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．图1­2­68【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ，∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.【答案】2二、解答题9.如图1­2­69，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.图1­2­69(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PBD.【证明】(1)设AC∩BD＝H，连结EH，在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.10．如图1­2­70，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.图1­2­70(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G