第23卷第6期济宁师范专科学校学报2002年12月Vol.23No.6JournalofJiningTeachers'CollegeDec.2002文章编号:1004-1877(2002)06-0009-02用定义证明数列的极限应注意的几个问题丁长银(济宁师专旅游地理系,山东济宁272037)摘要:通过几个具体例子论说用数列极限的定义证明题的正确方法。关键词:数列极限;不等式中图分类号:O122·3文献标识码:A学过数学分析的人,都知道数列极限是既重要又难掌握的概念。尤其用定义证明数列极限是学好极限的关键。特别对初学者来说,这一点是不容易做到的,不少人只是形式地套用定义、模仿证题的格式,根本不理解证明的真实含义,从而给出不正确的做法。为了讨论的方便,先给出数列极限的定义:对于数列xn,如果存在常数A,对于任给>0,总存lim在自然数N,当n>N,恒有xn-A<.则称常数A为数列xn当n趋向于无穷大时的极限。记为xn=A.n→∞一、不理解定义的真实含义lim3n2+n3例1.用定义证明=.n→∞3n2-123n2+n32n+33n2+nlim[错证]由于-=,所以对任给>0,总存在N,当n>N时,恒有<,所以2n2-122(2n2-1)2n2-1n→∞3n2+n3=。2n2-1233n2+n[分析]依定义,欲证“是的极限,”在给出>0之后,需找出符合条件的N,而上面的证明只是形式地套22n2-1用了定义,根本没有找到N,从实质上说,就是不理解定义的真实含义。n2+n32n+32n+32n+413n2+n3[正证]∵-==<=,∴对任给>0,欲使-<,只要2n2-122(2n2-1)4n2-24n2-162n-42n2-121113n2+n3lim3n2+n3<,即n>+2,令N=+2,则当n>N时,恒有-<,∴=2n-4222n2-12n→∞2n2-12二、为预先“任给”的充分小的正数需特别强调limn例2用定义证明=1。n→∞n+1n111[错证]:∵-1=<(>10),∴对任给>0,取定=,则有=10,当>时,恒有n+1n+111n10NnNnlimn-1<,∴=1。n+1n→∞n+1[分析]依定义,是预先给定的充分小的正数,即具有这样的特点充分小,任意性,固定性,三者缺一不可,1而上面的证明限定了=,显然是错误的。同时找出的N也是错误的,所以上面的证明是不对的。10n11[正证]任给>0,由于-1=<<,n+1n+1n收稿日期:2002-10-25作者简介:丁长银(1956-),男,山东省嘉祥人,济宁师专旅地系副教授。—9—11nlimn∴n>,取N=,则当n>N时,恒有-1<,∴=1.n+1n→∞n+1三、忽视了为任给“充分小”的正数,造成错误的解不等式例3,判断数列5n的极限是否为2?2n-35nn+66+36+3[错解]任给>0,∵-2=<,∴+6<2-3,∴(2-1)>6+3,∴>,取=,2n-32n-3nnnn2-1N2-15n5n则当n>N,恒有-2<,∴常数2是数列的极限。2n-32n-3lim5nlim55[分析]显然上面的解法是错误的,因为==。错误的原因是忽视了为“充分小”的正数,→∞2n-3→∞32nn2-n16+36+3当<时,由n(2-1)>6+3不能推出n>,只能推出n<,所以符合条件的N不存在,即2不是22-12-15n的极限。2n-3四、选取的N只能与有关(常数除外),与n无关limcosn例4,用定义证明=0n→∞ncosncosncosncosncosn[错证]∵-0=,∴对任给>0,欲使-0<,只要<,即>,令=nnnnnNcosncosnlimcosn,则当n>N时,有-0<,所以=0。nn→∞n[分析]依定义,对给>0,需找出符合条件的N,而上面证明中找到的N是不能确定的,它要随n的变化而不同,所以上面的证明是错误的。cosncosn111cosn[正证]任给>0,由于-0=<<,∴>,令=[],则当>,有-0<,∴nnnnNnNnlimcosn=0。n→∞n五、当n限定时,比如n=n。,N的取法应受n。约束。limn2-n+51例5用定义证明=n→∞3n2+2n-43n2-n+515n-195n5n[错证]∵-=<<(限定n>4),∴对任给>0,欲使3n2+2n-433(3n2+2n-4)3(3n2