课后素养落实(四十一)函数的零点(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2B．－2C．±2D．3C[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]2．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(1，＋∞)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))B[由f(x)＝2x－eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(1)<0.∴零点所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A．eq\f(1,2)，0B．－2,0C．eq\f(1,2)D．0D[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]4．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x123456y－52812－5－10则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[由表得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有两个．]5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－eq\f(1,\r(x))的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<cA[在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－eq\f(1,\r(x))的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A.]二、填空题6．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x＞0，))零点的个数为________．2[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，∴f(x)在(－∞，0]上有一个零点；x＞0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0.∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)在R上有2个零点．]7．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.2[令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，∵f(2)＝ln2＋2－4<0，f(3)＝ln3－1>0，∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＝________，n＝________.图(1)图(2)73[由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点．即n＝3.]三、解答题9．判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．[解]法一(图象法)：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图