专题四特殊四边形的动态探究专题概述特殊四边形的动态探究题目,是近几年全国各地中考命题的常见题,近三年的河南中考中的必考题.呈现类型均为解答题,分值一般为9分或10分.内容涉及三角形的全等与相似,等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理和性质以及圆的知识.特殊四边形的动态探究题,一般分为两类:一是通过探究线段长度或角的度数来判定特殊四边形,二是通过探究动点运动时间型两种数学思想.一般的解题步骤为(1)证明三角形全等或四边形为平行四边形;(2)根据全等三角形的性质或特殊平行四边形的性质建立数学模型,列出方程进行求解;(3)检验所求线段的长度或角的度数是否符合题意,确定结果.以AD为直径作☉O交边AB、AC于点E、F,连接OE、OF、DE、DF、EF.②∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ACD=45°,思路导引(1)已知一组对应边CP=PB,结合已知条件易得DP是△ACB的中位线,得到DP∥AB,DP= AB,根据SAS即可得证.(河南检测)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.∴△ACE是等腰直角三角形.(直接写出答案,不需要说明理由)AOPD底边AO上的高最大,即当OP⊥OA时面积最大;②易得四边形BPDO是平行四边形,当BP=BO时,根据菱形的判定定理可得四边形BPDO是菱形,此时,由PO=BO可得△PBO是等边三角形,即可得∠PBA的度数.详解:当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;内容涉及三角形的全等与相似,等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定定理和性质以及圆的知识.由于AO是定值,要使四边形AOPD的面积最大,就要使四边形在△ABP和△DEQ中,∴∠BPE=120°-30°=90°,∴OE=OF=DE=DF,解析(1)证明:∵EF∥AB,(2)填空:若AC为☉O的直径,则 思路导引(1)已知一组对应边CP=PB,结合已知条件易得DP是△ACB的中位线,得到DP∥AB,DP= AB,根据SAS即可得证.(2)①由DP∥AB,DP= AB=AO可得四边形AOPD是平行四边形,由于AO是定值,要使四边形AOPD的面积最大,就要使四边形AOPD底边AO上的高最大,即当OP⊥OA时面积最大;②易得四边形BPDO是平行四边形,当BP=BO时,根据菱形的判定定理可得四边形BPDO是菱形,此时,由PO=BO可得△PBO是等边三角形,即可得∠PBA的度数.解析(1)证明:∵D是AC的中点,且PC=PB,∴DP∥AB,DP= AB.∴∠CPD=∠PBO.∵OB= AB,∴DP=OB.∴△CDP≌△POB.(2)①4.②60°.变式训练1-1(河南三门峡二模、开封二模)如图,在△ABC中,AB=10 ,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC边上一动点,连接AD,以AD为直径作☉O交边AB、AC于点E、F,连接OE、OF、DE、DF、EF.(1)求 的值;(2)当AD运动到什么位置时,四边形OEDF是菱形,请说明理由;(3)点D运动过程中,线段EF的最小值为5 (直接写出结果).解析(1)作OP⊥EF交EF于点P,则PE=PF= EF,∵∠BAC=60°,∴∠EOF=120°,∵OE=OF,∴∠OEF=∠OFE=30°,cos∠OEF= = = ,∴ = .(2)当AD平分∠BAC时,四边形OEDF是菱形,理由:∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,∠BAD=30°,∵AD是☉O的直径,∴∠DEA=90°,∴∠EDA=60°,∵OE=OD,∴△OED是等边三角形,即ED=OE,∴OE=OF=DE=DF,∴四边形OEDF是菱形.(3)5 .类型二利用动点运动时间判定特殊四边形解析(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,运动时间为t(s),∴AP=DQ=t,则PF=QC=4-t,在△ABP和△DEQ中, ∴△ABP≌△DEQ(SAS).∴BP=EQ.同理可证PE=QB,∴四边形PEQB是平行四边形.(2)①2.详解:当四边形PBQE为菱形时,PB=PE=EQ=QB,∴△ABP≌△DEQ≌△FEP≌△CBQ.∴AP=PF=DQ=QC,即t=4-t,得t=2.∴当t=2时,四边形PBQE是菱形.②0或4.详解:当t=0时,