【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形的判定及有关性质二.重点、难点：1.平行线等分线段定理及其推论2.平行线分线段成例定理及其推论3.相似三角形判定定理4.相似三角形性质5.射影定理【典型例题】[例1]如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，求证：△BDO∽△BOC∽△OEC。证明：易得AO平分∠BAC，AO⊥DE∴∠ADO=∠AEO∴∠BDO=∠CEOr又∠BDO=90°+∠BAC∠BOC=180°－（∠ABC+∠ACB）=90°+∠BAC∴∠BDO=∠BOC又∠DBO=∠OBC∴△BDO∽△BOC同理△ECO∽△OCB∴△BDO∽△BOC∽△OEC[例2]已知：在△ABC中，D为BC边上的点，且AD=BD，∠BDE=∠DAC。求证：。证明：∵AD=BD∴∠B=∠1∵∠2=∠B+∠BDE又∠BDE=∠DAC∴∠2=∠BAC在△AED与△BAC中，∠1=∠B，∠2=∠BAC∴△AED∽△BAC∴∵AD=BD∴∴[例3]已知：D、E分别在△ABC的边AC和AB上，BD与CE交于F，其中AE=BE，，，求。证明：取AD中点N，连结EN∴ENBD∴∴∵∴×=∵=∴===11[例4]如图，在等腰直角△ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF⊥BE，求△CEF的面积。解：作FD⊥AC于D，设FD=x由AB=AC=1，∠A=90°，∠C=45°知∠DFC=45°=∠CDC=DF=xDE=EC－DC=由EF⊥BE，DF⊥EC，∠A=90°知∠BEA=90°－∠FEC=∠EFD∠FDE=∠A∴△ABE∽△DEF∴∴[例5]已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，在AB，AC边上分别取点P、Q，连结PQ，作AF⊥PQ于F，AF延长线交BC于D，求证：。证明：作BM⊥AD于M，CN⊥AD交AD延长线于点N∵PQ⊥AD∴PQ//BM//CN∵PQ//BM∴∵NC//PQ∴∴∵Rt△ABC中，∠BAC=90°AF⊥PQ∴由射影定理得，∴∴∴[例6]已知：△ABC中，∠A=2∠B，求证：。证明：延长CA至D使AD=AB，连结BD，则∠1=∠D∴∠CAB=2∠D∵∠CAB=2∠CBA∴∠CBA=∠D又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴∴又AD=AB∴或作∠CAB平分线AD，△CAD∽△CBA∴∴[例7]已知：在△ABC中CD为AB边上的高，E为BC边上的中点，DE的延长线交AC延长线于F，求证：。证明：（1）方法一：在EF上截取EM=DE，连结BM∵CD⊥AB∴△DBC为Rt△∵E为BC边上的中点∴DE=BC又∵EM=DE∴DM=BC∴EM=DMBE=EC∴BDCM∴MC//BD∴∴（2）方法二：作EM//BA交AC于M∵E为BC中点∴AM=AC∵CD⊥AB∴△DBC为Rt∴DE=BC∵EM//BA∴∴[例8]如图，△ABC中，D、E分别在边BC，AB上且∠1=∠2=∠3，设△ABC，△EBD，△ADC的周长分别为m，m1，m2，求证：。证明：令AB=c，BC=a，CA=b，由∠2=∠3知ED//AC，故△EDB∽△ACB∴，即由∠1=∠3，∠C公共∴△BAC∽△ADC∴∴∴∴当即时，∴[例9]已知：梯形ABCD中，∠B=∠C=90°过BC的中点F作FE⊥AD，且EF=CF，求证：。解：连结FD、FA∵FE⊥AD∴∠DEF=90°∵CF=EFFD=FD∠C=∠DEF=90°∴△DCF≌△DEF∴DE=DC∠1=∠2同理可证EA=BA∠3=∠4∴∠2+∠4=90°∴∵EF⊥AD由射影定理得∵EF=CF∴∴∴[例10]已知：如图，在△ABC中，AB=12，AE=6，EC=4，且。（1）求AD的长；（2）求证：。（1）解：设AD=x，则DB=AB－AD=12－x，则∴∴，即（2）证明：∵AB=AD+DB，AC=AE+EC∴∴∴∴[例11]如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，且CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。求证：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC。分析：由已知条件中三个“重点”，AC⊥BC，HF⊥AC，HE⊥BC，可得出四边形EHFC是矩形，由矩形对角线相等，各角均为90°，对边相等中两个条件加公共边可证（1）题，由此可得∠HCB=∠HFE。证明：（1）∵∠ACB=90°，HE⊥BC，HF⊥AC∴四边形FHEC是矩形∴HF=EC，∠FHE=∠CEH=90°又∵HE=EH∴△HEF≌