4．三边对应成比例的两三角形相似．直角三角形相似的判定：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．三、相似三角形的性质1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2．相似三角形周长的比等于相似比．3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．4．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．四、有关比例的几个重要定理1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一边．2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3．直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．基础自测2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A＝________.解析：由题意知，BC＝EC，在Rt△ACB中，E是斜边AB的中点，∴EC＝EB＝EA，∴EC＝EB＝BC.∴△ECB为正三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°.答案：30°3．(2011·长沙市模拟)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则＝_____.4．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则＝________.(1)求证：OE＝OF；(2)求的值；(3)求证：点评：(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．变式探究解析：过点D作DG∥BF交AC于点G.∵点D是BC中点，∴DG是△CBF的中位线．∴FG＝CG.同理可证AF＝FG.∴AF＝AC.答案：证明：过点C作CE∥DA，与BA的延长线交于点E.∵CE∥DA，∴∠AEC＝∠BAD，∠DAC＝∠ACE.又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ACE＝∠AEC.∴AC＝AE.由平行线截割定理知：，∴点评：在几何证明中，如果题目给的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中．如果能熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷．变式探究∵DE∥CA，∴∠DAC＝∠ADE.又∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠EAD＝∠DAC.∴∠ADE＝∠EAD.∴DE＝AE.(1)证明：∵点E是AB的中点，∴AB＝2BE.又∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．解析：∵△EDM∽△FBM，∴∵点F是BC的中点，∴DE＝2FB，∴DM＝2BM.∴BM＝DB＝3.点评：(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．变式探究解析：∵BC2＝BD·AB，即＝，且∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC.∵CD⊥AB，即∠BDC＝90°，则∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．由射影定理知：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，两式相除得，变式探究解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，由射影定理得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，∴即CD:BD＝4:9.答案：4:9点评：利用直角三角形的射影定理解决问题首先要确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．所以梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7∶5.答案：7∶52．(2011·陕西卷)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.高考预测2．(2012·河源市期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，AB的中点为E，则＝__