楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析(二),周学时6节)周次第16周(2008.6.9-2008.6.15)课题第十四章幂级数§14.1幂级数学时2学时教学内容（主要）一.幂级数的定义二.幂级数的收敛区间三.幂级数的运算教学目标1.理解幂级数的定义2.深刻理解并掌握求幂级数收敛区间的基本方法3.深刻理解并掌握幂级数的运算法则教学重点1.幂级数的定义2.求幂级数收敛区间的基本方法3.幂级数的运算法则教学难点1.求幂级数收敛区间的基本方法2.幂级数的运算法则教学方法与手段分析教学方法、探索式的教学方法、讲练结合以练为主教学方法(借助多媒体辅助教学)教学进程(教学设计)第十四章幂级数§14.1幂级数一.幂级数的定义定义1(1).级数叫做关于的幂级数.(2).级数叫做关于的幂级数.二.幂级数的收敛区间问题1:设在收敛,探究收敛与收敛的关系.探究:由于.而收敛,故,于是存在,使得.故.若,即,则收敛,于是由比较判别法在收敛,故在绝对收敛.又由判别法在一致收敛.于是,我们有定理1(阿贝尔定理).若在收敛,则对任何的,在闭区间上绝对收敛,且一致收敛.收敛([])问题2:设在发散,探究发散与发散的关系.探究:因为发散,故在外,即和处处发散,这是因为,若在和内有收敛点,则由定理1,在内收敛,而,故在收敛.矛盾.于是,我们有推论1.若在发散,则当时,发散.收敛发散发散()()推论2.若在收敛,又在发散,则存在唯一的使得在内绝对收敛,而在外处处发散.发散发散收敛)))(((())))(((定义2.设(1).若仅在收敛,则令.(2).若在收敛,则令.(3).若在收敛,又在发散,则令上述的叫做收敛半径,叫做收敛区间,收敛区间加上收敛端点叫做收敛域.问题3:设,探究收敛的收敛半径的计算公式.探究:由于.若,则(1).当时,;若,即,则绝对收敛,若,即,则发散.故.(2).当时,,,故在收敛,于是.(3).当时,,,故在发散,仅在收敛,故.若则.于是,我们有定理1.若或,则的收敛半径,且收敛区间为.定理2.若或,则的收敛半径,且收敛区间为.例1.求下列幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域.(1).;(2).;(3).;(4)..解:(1).因,故.又当时,发散.当时,收敛.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.(2).因,故.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.(3).因,故.故的收敛半径为.(4).因,故.又当,即时,收敛.当,即时,收敛.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.例2.求下列幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域.(1).;(2).;(3).;(4)..解:(1).故当,即时,收敛,而当,即时,发散.于是.又当时,收敛.当时,收敛.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.(2).,.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.(3)..故当,即时,收敛,而当,即时,发散.于是.又当,即时,收敛.当,即时,收敛.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.(4).,故当,即时,收敛,而当即时,发散.于是.又当,即时,收敛.当,即时,收敛.故的收敛半径为,收敛区间为,收敛域为.例3.求下列幂级数的收敛域.(1).;(2).;(3)..解:(1).令,则,于是,故收敛半径,于是收敛区间为.由,得.由,无解;由,得.当时,发散.故收敛域为.(2).令,则,于是收敛半径,收敛区间为.由,得.由,得;由,得.当时,发散.当时,发散.故收敛域为.(3).令,则,于是收敛半径,收敛区间为.由,得,或.由,得;由,得.当时,发散.当时,发散.故收敛域为.三.幂级数的运算(a)(b)定义.若幂级数(a)与(b)在某内有相同的和函数,则称幂级数(a)与(b)在内相等.定理1.若幂级数(a)与(b)在某内相等,则它们的同次幂系数相等,即,定理2.若幂级数(a)与(b)的收敛半径分别为,则.(1).(2)=.(3)其中.课后教学总结课外作业习题1.(1)-(8).实践与思考单元测试与分析