第2章控制系统的数学模型2.1系统数学模型概述2.2列写微分方程的一般方法二、例题例2-1图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。例2-2图2-2所示是一个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中，为弹性系数，为物体的质量，为阻尼系数。2.3用拉普拉斯变换求解线性微分方程2.3.1拉普拉斯变换定义2.3.2常用函数的拉普拉斯变换2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则2.微分定理函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。同理，若初始条件3.积分定理一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s，即5.终值定理函数的稳态值（的数值），等于函数的拉氏变换乘以s后的的极限值。即2.3.4拉氏反变换那么2.3.5用拉氏变换求解微分方程例2-3设系统的微分方程为，已知：2.4传递函数2.4.1传递函数的定义将式（2-16）代入式（2-15），得RLC电路的微分电路关于传递函数，还应注意以下性质：（4）传递函数一般为复变两s的有理分式，它的分母多项式s的最高次n总是大于或等于其分子多项式s的最高次m即n≥m。2.4.2典型环节的传递函数2.惯性环节惯性环节又称非周期环节，该环节的微分方程为3.积分环节积分环节的微分方程为4.微分环节理想微分环节的微分方程为5.振荡环节振荡环节的微分方程为特点：振荡环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械阻尼系统的传递函数。2.5动态结构图2.5.1动态结构图的概念（3）综合点（比较点或相加点）：对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“－”号。有时“+”号可省略，但“－”号必须标明，如图（c）；2.5.2动态结构图的建立例2-5已知RC阻容网络如图2-5所示，其中为输入量，为输出量，试画出该网络的动态结构图。从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的传递函数方块图。并连结系统中的各同名信号线。如图2-6所示。2.5.3动态结构图的等效变换因而可等效成图2-7（b）所示的结构。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有2.并联环节的等效变换两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总的输出信号的结构称为并联环节。如图为两个环节的并联结构图。由图得：其等效结构图如图所示。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环节的传递函数的代数和，即有3.反馈连接的等效变换若传递函数分别为G（s）和H（s）的两个方块图如图2-9（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。由（a）图有称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。反馈连接的等效变换如图所示。4.综合点和引出点的移动在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间的移动。可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：2）综合点后移图2-11（a）和图2-11（b）分别表示综合点后移变换前后的系统结构图可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系：3）引出点前移图2-12（a）和图2-12（b）分别表示引出点前移变换前后的系统结构图。4）引出点后移图2-13（a）和图2-13（b）分别表示引出点后移变换前后的系统结构图。5）相邻综合点之间的移动和合并图2-14（a）和图2-14（b）表示相邻综合点之间可以互换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间的关系。6）相邻引出点之间的移动从一个信号流线上无论引出多少条信号线，它们都代表同一个信号，所以在一条信号线上的各引出点之间的位置可以随意改变，效果都是等效的。如图2-15（a）和图2-15（b）所示。例2-8化简图2-16所示的系统结构图，并求传递函数。2.6信号流图2.6.1信号流图的术语及绘制前向通路从源节点开始并且终止于阱节点，与任一节点相交不多于一次的通路。如图中的x1→x2→x3→x4→x5，x1→x2→x4→x5，x1→x2→x5前向通道增益前向通道上各支路增益的乘积。回路通路的起点和终点是同一节点，并且与其它任何节点相交不多于一次的闭合路径称为回路。回路增益回路中各支路增益的乘积，称为回路的增益。不接触回路回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上的不接触回路。如图中的：x2→x3→x2和x4