第2章控制系统的数学模型教学重点教学难点控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。建立控制系统数学模型的方法有机理分析法和实验辨识法两种。机理分析法：依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法。实验辨识法：通过整理基于系统输入－输出的实验数据来得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析法。数学模型有多种形式，常用的有:微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。本章主要研究:微分方程、传递函数、系统方框图和信号流图等。2.1系统的微分方程例2-1列写RC电路微分方程，如图2-1所示。解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据电路原理列写微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程例2-2列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程，如图2-2所示。解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据电路原理列微分方程根据电动机力矩平衡原理列微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程令,则得例2-3列出具有质量-弹簧-阻尼器的机械位移系统的微分方程，如图2-3所示。解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据力学、运动学原理列微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程例2-4列写直流调速系统的微分方程，如图2-4所示。解（1）确定输入、输出量为、。（2）根据电路、电动机力矩平衡原理列微分方程（3）消去中间变量，得直流调速系统的动态微分方程式中，为正向通道电压放大系数，;为系统开环放大系数，。通过以上例子，可以归纳出列写微分方程的一般步骤：全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输入、输出变量。从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出各元器件的微分方程。将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个仅含系统的输入、输出变量的微分方程。整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列。注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则无须第(4)步。引言：传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。2.2.1传递函数的定义传递函数是指在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。在零初始条件下对式(2-1)两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程系统的传递函数为传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有两方面含义：一是指输入是在以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在时的值也为零。例2-5试求如图2-5所示RLC无源网络的传递函数。解RLC无源网络的微分方程为在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换，并整理得到其传递函数例2-6求图2-3中机械系统的传递函数。解由例2-3可得系统的动态微分方程为在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换，整理得到传递函数2.2.2传递函数的性质传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，n≥m且所有系数均为实数。传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用及初始条件无关。传递函数与微分方程有直接联系。传递函数的拉氏变换是脉冲响应。传递函数与S平面上的零点、极点分布图相对应。传递函数的零点和极点零点：传递函数中分子多项式为零的值称为传递函数的零点，通常用Zi表示，在复平面坐标中用“0”表示。极点：传递函数中分母多项式为零的值，称为传递函数的极点，通常用Pj表示，在复平面坐标中用“X”表示。零、极点可以是实数、复数（若为复数则共轭成对出现），在复平面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有相应的对应关系。因此在传递函数分子多项式和分母多项式互质时，传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。2.2.3典型环节及其传递函数在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节。所谓典型环节就是构成系统的一些基本要素，它们在系统分析和设计中起着重要作用。1.比例环节又称为放大环节，其输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号。输入量与输出量之间的表达式为其传递函数为图2-6比例环节2.惯性环节图2-8惯性环节3.积分环节图2-10积分环节4.微分环节图2-12微分环节5.延时环节6.振荡环节图2-14延时环节2.3