数列递推及通项应用目录题型01递推基础：等差数列定义型题型02递推基础：等比数列定义型题型03累加法求通项题型04累加法求通项：裂项型题型05累加法求通项：换元型题型06累积法求通项题型07待定系数型等比求通项题型08分式型求通项题型09不动点方程求通项题型10前n项和型求通项题型11前n项积型求通项题型12因式分解型求通项题型13同除型构造等差数列求通项题型14同除型构造等比数列求通项题型15周期数列求通项：分段型题型16周期数列求通项：三阶型题型17奇偶各自独立型求通项高考练场题型01递推基础：等差数列定义型【解题攻略】等差数列的判定方法①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证a-a=定值；n+1n②等差中项法：即证2a=a+a；n+1nn+2③函数结论法：即a为一次函数或S为无常数项的二次函数.nn1(2024上·山东威海·高三统考)已知数列{a}，对∀m,n∈N∗都有a+a=a，且a=1，则a+a+⋯nmnm+n124+a=.2n2(2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考期末)在数列a中，a=6，且na-n+2a=n1n+1nnn+1n+2，则a=.n【变式训练】11a1(2023下·全国·高三校联考阶段练习)已知数列a满足a=1,-=3n∈N∗，则3=n1aaan+1n21a-a，1n=.aa+aa+⋯+aa1223n-1n1222(2024上·海南海口·高三海南中学校考)在数列{a}中，a>0,a=,-=1，则a=nn12a2a29n+1n．a13(2023上·四川成都·高三校联考阶段练习)已知各项均不为0的数列a满足n+1=，且a=naa+11nn1，则a=．22023题型02递推基础：等比数列定义型【解题攻略】等比数列的判定方法：a(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证n+1=q(q≠0的常数)⇔数列{a}是等比数列；ann(2)等比中项法：即证a2=a·a(aaa≠0，n∈N*)⇔数列{a}是等比数列．n+1nn+2nn+1n+2n1(2023·河南郑州·统考二模)已知正项数列a的前n项和为S，且a=2，SS-3n=SS+3n，nn1n+1n+1nn则S=()202332023+132022+1A.32023-1B.32023+1C.D.222(2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知数列a满足：对任意的m，n∈N*，都有naa=a，且a=3，则a=()mnm+n220A.320B.±320C.310D.±310【变式训练】1(2022上·山东日照·高三统考)正项数列a中，a=ka(k为常数)，若a+a+a=3，则a2nn+1n2021202220232021+a2+a2的取值范围是()20222023A.3,9B.[3，9]C.3,15D.[3，15]12(2022·陕西·校联考模拟预测)在数列a中，a=1，数列+1是公比为2的等比数列，设S为n1anna的前n项和，则下列结论错误的是()n111A.a=B.a=+n2n-1n2n27C.数列a为递减数列D.S>n383(2022·山西吕梁·统考一模)已知S为数列a的前n项和，且a=1，a+a=3×2n，则S=nn1n+1n100()A.2100-3B.2100-2C.2101-3D.2101-22题型03累加法求通项【解题攻略】a-a=fn，一般利用累加法求出数列的通项公式；对于递推公式为nn-1a-aa1已知数列a满足a=10，n+1n=2，则n的最小值为()n1nn111627A.210-1B.C.D.2342已知数列a中，a=1，n≥2时，a=a+2n-1，a=.n1nn-1n【变式训练】1(2023下·北京·高三北京八中校考)若数列a满足a=1,a=a+n+1n∈N*，则通项公式为an1n+1nn=.32(2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测)已知数列a满足a=，a-a=2n+1，则数列n14n+1n1的前100项和S=．a100n3(2020上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)设数列a满足a=a+2(n+1)，n∈N*，a=nn+1n12，则数列(-1)na的前50项和是．n题型04累加法求通项：裂项型【解题攻略】an+1=fn形如：a的数列的递推公式，采用累乘法求通项；