专题8-2二项式定理16类常考问题汇总题型1求展开式中的指定项题型2求指定项的系数题型3二项式系数最大的项题型4展开式所有项系数和题型5展开式二项式系数和题型6三项展开式问题题型7两个二项式乘积展开式的系数问题题型8由项的系数或系数和确定参数题型9奇次项与偶次项的系数和题型10等式两边求导后求和题型11展开式系数最大的项题型12等式两边不一致时需要换元或配凑题型13赋值求系数和题型14整除和余数问题题型15二项式定理与杨辉三角题型16二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n，都有：()(a+b)n=C0an+C1an−1b++Cran−rbr++CnbnnN*nnnn这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式．式中的Cran−rbr做二项展开式的通项，用T表示，即通项为展开式的第r+1项：T=Cran−rbr，其中的系nr+1r+1n1/13数Cr(r=0,1,2,,n)叫做二项式系数n2、二项式(a+b)n的展开式的特点：（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为Cr，最大二项式系数项居中；n（3）次数：a，b次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即Cr=Cn−rnn（5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数n最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式C2n系数n−1n+1相等，且最大C2,C2nn3、二项展开式的通项：T=Cran−rbr(r=0,1,2,,n)公式特点：r+1n（1）它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cr；n（2）字母b的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项例：对于(x+a)n（1）二项式系数之和为2n，即C0+C1+C2+C3+C4++Cn=2n；nnnnnn（2）所有展开式系数和为(1+b)n，展开式为：(x+b)n=C0xn+C1xn−1b++Crxn−rbr++Cnbn(nN*)，nnnn可以表示为：(x+b)n=a+ax1++axn(nN*)，令x=1即可得出所有项系数和01n（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即C0+C2+C4+=C1+C3+C5+=2n−1．nnnnnn知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项Cran−rbr的二项式系数是组合数Cr，展开式的系数是单项式Cran−rbr的系数，二nnn者不一定相等．（2）(a+b+c)n展开式中apbqcr的系数求法(p,q,r0的整数且p+q+r=n)(a+b+c)n=[(a+b)+c]n=Cr(a+b)n−rcr=CrCqan−r−qbqcrnnn−r2/13（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A，…，A，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不2n＋1A≥A，kk－1等式组即得结果．A≥Akk＋1重点题型·归类精练题型1求展开式中的指定项1．式子(x−1)12二项式定理展开中的第6项为．152．二项式2x−的展开式中的第3项为（）x38040A．160B．−80xC．D．−x3x7353．3x+的展开式中，有理项是第项．x26−4．2x−x3的展开式中有理项的个数为.题型2求指定项的系数5．二项式(x−2y)5的展开式中，含y2项的系数为.6．在(3−x)7的展开式中，x3的系数为（）A．−21B．21C．189D．−189267．x－x的展开式中的常数项为()A．－150B.150C.－240D.2403/138．在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．题型3二项式系数最大的项9．已知二项式(2x−1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n=.10．(3+2x)n