一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。类型一：三垂直模型181(雅礼)如图，点A是双曲线y=x<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点Ax8k在双曲线y=x<0上运动时，点B在双曲线y=上移动，则k的值为.xx42(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−x<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=xkk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲xk线y=于另一点，则ΔOBC的面积为.xk3(广益)如图，点A，B在反比例函数y=(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，xOA⊥AB，则k的值为．4(长沙中考2020)在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把ΔADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．(1)求证：ΔABF∼ΔFCE(2)若AB=23,AD=4，求EC的长；(3)若AE-DE=2EC，记∠BAF=α,∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．25(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图26(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点Q是射线OC上一点，OQ=182，点P是x轴正半轴上一点，tan∠POC=1，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P，与边OC相交于另一点D．(1)若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；(2)若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；(3)在(2)的条件下，若OP<10，点M是经过点O，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动1点，若满足tan∠OFM=的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．27(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；k(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=上(x>0)x的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．3类型二：一线三锐角8(师大梅溪湖)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=22，AD=AE，∠DAE=90°，CE=5，则CD的长为.(提示，作辅助线构造一线三等角的相似)9(青竹湖)如图，在△ABC中，∠B=∠ACB=45°，AB=62，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．(1)求证：AB•CF=BD•CD；(2)如图2，当∠AED=75°时，求CF的长；AF(3)若CD=3BD，求．EF10(广益)如图1，已知直线y=kx+2k(k为常数，k≠0)与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称，点C在y轴的正半轴上，OC=3OA，连接AC，BC。(1)求△ABC的面积及sin∠ACB；(2)如图2，已知P，Q分别是线段AC，BC上的一动点，且始终满足∠POQ=60°。①求AP·BQ的值及△CPQ面积的最大值；②当△AOP与△OQP的面积相等时，抛物线y=ax2+bx+c经过P，Q两点，经过点P的直线y=mx+12n满足：对于任意的实数x，都有y≥y成立。记w=y+y，若函数w与x轴相交于M，N两点，且线段MN≤1，1212求a的取值范围。4类型三：一线三钝角11(2016年长沙中考)如图，直线l：y=-x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是