授課目錄導論統計資料的整理與描述機率導論常用的機率分佈與統計分佈描樣方法與描樣分佈統計估計統計檢定變異數分析相關分析與迴歸模式無母數統計檢定類別資料分析---列聯表與卡方檢定第六章統計估計母體樣本分佈、參數統計量隨機抽取推論檢定計算描述當獲得母體的樣本資料時，可由各種機率分佈當中，選擇出最接近該母體的機率分佈，續之即估計該分佈之參數值，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。然即使隨機變數的機率分佈及其參數值已知，仍無法準確的預測某特定事件一定或不一定發生，而只能預測此事件發生之機率為若干。此不確定性發生的原因主要是因為自然現象有固有的隨機性(InherentRandomness)。但不確定性的其他因素則可能包括分佈模式選擇的不適切，或參數推定不準確所致。雖然參數推定值的準確性可因樣本數的增加而提高。但固有的變異性確可能因為樣本數增加而益形顯著。統計估計過程是由母體中抽取出數樣本，藉機率原理找出適當的樣本統計量，再以此樣本統計量推估母體參數。統計估計方法，一般分為點估計與區間估計兩種。6.1點估計(PointEstimation)假設隨機變數X的母體機率密度函數f(x|q)，其中q為未知的參數。為估計此未知的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為x1,x2,…,xn。利用點估計方法求出一估計式(Estimator)，以表示。再將觀測值為x1,x2,…,xn代入估計式中得到一數值，此數值稱之為參數q的估計值(Estimate)。常用方法：(1)最大概似法，(2)動差法。母體f(x|q)觀測值為x1,x2,…,xn估計式參數q的估計值最大概似法(MaximumLikelihoodMethod)由Fisher(1912)提出。假設隨機變數X的母體機率密度函數f(x|q)，其中q為未知的參數，為估計此未知的參數，則由母體中抽取出數樣本，得到觀測值為x1,x2,…,xn。則概似函數定義為L(x1,x2,…,xn；q)=f(x1,q)f(x2,q)…f(xn,q)(6.1)使概似函數L(x1,x2,…,xn；q)值為最大，則能求出估計式，稱此為最大概似估計式(MLE,MaximumLikelihoodMethod)範例、某公司新推出光碟燒錄機，其使用壽命服從指數分佈f(x)=(1/q)e-x/q。為估計參數q以了解平均使用壽命，隨機抽取出11台樣本做測試，測得其壽命結果如下：8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52(百小時)。試以最大概似法估計q值。SOL：L(x1,x2,…,xn；q)=f(x1,q)f(x2,q)…f(xn,q)lnL(x1,x2,…,xn；q)=-nlnq-(1/q)åni=1xid(lnL)/dq=-n/q+(1/q2)åni=1xi=0Estimator(估計式)=åni=1xi/n=(8+10+13+14+19+21+27+28+34+41+52)/11=267/11母體f(x)=(1/q)e-x/q觀測值為8，10，13，14，19，21，27，28，34，41，52估計式=åni=1xi/n參數q的估計值=267/11範例、假設隨機變數X~N(m,s2)，從其中隨機抽取出一組樣本x1,x2,…,xn，試以最大概似法估計m,s2值。SOL：L(x1,x2,…,xn；m,s2)=f(x1,m,s2)f(x2,m,s2)…f(xn,m,s2)lnL(x1,x2,…,xn；m,s2)=ln=-(n/2)ln(2p)-(n/2)ln(s2)-(å(xi-m)2)/2s2範例、台灣的地理位置處於東亞地震帶，地震活動較頻繁。假設台灣發生有感地震的次數服從卜氏分佈Poi(m)。台東氣象站為了要估計此參數m，以了解台灣有感地震情形，於是觀察過去一年來的每月資料，得到台灣有感地震資料如下：9,7,12,14,3,11,7,10,4,6,8,10。試以最大概似法求m之估計式，並由樣資料去估計m值。SOL：L(x1,x2,…,xn；m)=f(x1,m)f(x2,m)…f(xn,m)lnL(x1,x2,…,xn；m)=-nm+åni=1xilnm-lnPni=1xi!d(lnL)/dm=-n+(åni=1xi)/m=0Estimator(估計式)=åni=1xi/n=(9+7+12+14+3+11+7+10+4+6+8+10)/12=101/12=8.426.2.2動差法(MomentMethod