中值定理题等式证明题型题法大全http://bbs.qinjing.cc中值定理等式证明题型题法大全收藏版11f(x)1．设函数f(x)在[0,+¥)上连续，且f(x)dx<-,lim=0，求证：存在xÎ(0,+¥)，ò02x®+¥x使得f(x)+x=0。【解】设F(x)=f(x)+x，于是1111F(x)f(x)+xF(x)dx=ëéf(x)+xûùdx=f(x)dx+<0,lim=lim=0+1=1>0ò0ò0ò02x®+¥xx®+¥x根据零值定理：存在xÎ(0,+¥)，使得F(x)=0Þf(x)+x=0。1x2．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(x)dx=0，求证：存在xÎ(0，1)，使得xf(x)=f(x)dx。ò0ò0éxù¢xf(t)dt2ò0【解】因为xf(x)-f(t)dt=x×êú,x¹0，ò0êxúëêûúxìf(t)dtïò0,x¹0f(x)设F(x)=íx，因为limF(x)=lim=f(0)=0=F(0)，故F(x)f(x)在ïx®0x®01î0,x=01f(t)dtò0[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且FF(1)==0=(0)，根据罗尔定理1x存在xÎ(0,1)，使得F¢(x)=0Ûxf(x)=f(x)dx。ò03．设f(x)在[a,b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=0,a>0，求证：存在xÎ(a，b)，使得b-xf(x)=f¢(x)。aa【解】设F(x)=(b-x)f(x)é1ùæ1öæ1ö4．设f(x)在0,上二阶可导，且f(0)=f¢(0)=0,fç÷=0，求证：存在xÎç0，÷，使得ëê2ûúè2øè2ø3f¢(x)f¢¢(x)=。1-2x【解】设F(x)=f¢(x)(1-2x)-f(x)1215、设f(x)在[-1,1]上有连续的二阶导数。求证：存在xÎ[-1,1]，使xf(x)dx=f'(x)+xf''(x)。ò-133x【解】设F(x)=tf(t)dt，则ò0F'(x)=xf(x),F''(x)=f(x)+xf'(x),F'''(x)=2f'(x)+xf''(x),且1中值定理题等式证明题型题法大全http://bbs.qinjing.ccF(0)=0,F'(0)=0。F''(0)F'''(x)FFF(1)=(0)+'(0)++1,xÎ(0,1)261F''(0)F'''(x)FFF(-1)=(0)-'(0)+-2,xÎ(-1,0)2621FF'''(x)+'''(x)F'''(x)21Þxf(x)dx=F(1)-F(-1)=12==f'(x)+xf''(x)ò-16333其中xÎ(-1,1)（介值定理）6、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)<0，f(b)<0，f(c)>0（cÎ(a,b)）。求证：存在xÎ(a,b)，使f'(x)=-f(x)。【解】设F(x)=exf(x)，则F(a)<0,F(c)>0,F(b)<0，F(c)-F(a)F'(x)=>0,$xÎ(a,c)1c-a1F(b)-F(c)F'(x)=<0,$xÎ(c,b)2b-c2x\F'(x)=0,xÎ(x1,x2)Ì(a,b),\e(f(x)+f'(x))=0,f(x)+f'(x)=07、设f(x)在(0,4)内二阶可导，且f(0)=0,f(1)=1,f(4)=2。求证：存在xÎ(0,4)，使得1f''(x)=-。3111【解】还原所证明的式子：f''(x)+Þf'(x)+x+aÞf(x)+x2+ax+b3361F(x)=f(x)+x2+ax+b67解方程：F(0)=0,F(4)=0，解得：a=-,b=0，617因此设F(x)=f(x)+x2-x,\F(0)=0,F(1)=0,F(4)=066\$x1Î(0,1),F'(x1)=0,$x2Î(1,4),F'(x2)=0,\$xÎ(x1,x2)Ì(0,4),F''(x)=01即：f''(x)=-。38．设函数f(x)在[0,1]上具有连续一阶导数，且f(0)=0,f¢(1)=0，求证：存在xÎ(0,1)，使得f¢(x)=f(x)。--xx【解】构造辅助函数Fxefx()=()ÞFxe¢()=ëéfx¢()-fx()ûù--11F¢(1)=eëéf¢(1)-f(1)ûù=-ef(1)=-F(1)，下面只要证明F¢(x)在(0,1)内有零点。假设F¢(x)>0ÞF¢(1)³0,F(1)>F(0)=f(0)=0,F¢(1)=-F(1)<0，矛盾；2中值定理题等式