高三数学试卷第页扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题高三数学2013．01全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．若集合，，则M∩N=▲．2．将复数(是虚数单位)写成，则▲．3．已知向量，若，则k等于▲．4．已知函数，则▲．5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为▲．6．设满足约束条件，则的最大值是▲．7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为▲．8．已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切，则圆的标准方程为▲．9．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题①若，则，②若，则,③若④若，则,其中正确的命题序号是▲．10．在中，角所对边的长分别为，且，则▲．11．已知函数（）在区间上取得最小值4，则▲．12．如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数的图像上，若点的坐标为），矩形的周长记为，则▲．13．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则=▲．14．数列满足，，且=2，则的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，⊥平面，于。（Ⅰ）证明：平面⊥平面；（Ⅱ）设为线段上一点，若，求证：平面17．（本小题满分15分）已知数列的前项和为．（Ⅰ）若数列是等比数列，满足，是，的等差中项，求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分15分）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）19．（本小题满分16分）如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C．（Ⅰ）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；（Ⅲ）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（本小题满分16分）记函数的导函数为，已知．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若实数和（，且）满足：，试比较与的大小，并加以证明．第二部分（加试部分）21．B选修4-2：矩阵与变换（本题满分10分）若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵.…………………10分21．C．选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。22．（本题满分10分）在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．23．（本题满分10分）已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（Ⅰ）求展开式的中间项；（Ⅱ）当