习题解答第8章机械振动8-1解：取固定坐标xOy，坐标原点O在水面上（图题所示）设货轮静止不动时，货轮上的A点恰在水面上，则浮力为Sρga.这时Mg?s?ga往下沉一点时，合力F?Mg?s?g(a?y)??s?gy.又F?Ma?Mdydt22习题8-1图故Mdydt22?s?gy?0dydt22?s?gMy?0故作简谐振动?2?s?gMT?2???2?Ms?g?2?2?1034?10332?10?10?9.8?6.35(s)8-2解：取物体A为研究对象，建立坐标Ox轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l0处，此时：mgsin?l0??0.1(m)(1)k(1)A物体共受三力；重mg,支持力N,张力T.不计滑轮质量时，有T=kx列出A在任一位置x处的牛顿方程式mgsin??T?mgsin??k(l0?x)?mdxdt22将（1）式代入上式，整理后得dxdt22?kmx?01故物体A的运动是简谐振动，且???x0??l0?v?0km?7(rad/s)由初始条件??A?l0?0.1m,求得?,故物体A的运动方程为????x=0.1cos(7t+π)m(2)当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式为:mgsin??T1?mdxdt22(2)出2对滑轮列转动方2程为：习题8-2图?1T1r?T2r?J???Mr?21dx?a??Mr22dt?r(3)（4）式中,T2=k(l0+x)由式（3）、(4)知T1?k(l0?x)?12Mdxdt22代入(2)式知?1?dxmgsin??k(l0?x)??M?m?2?2?dt2又由（1）式知mgsin??kl012dxdt22故(M?m)dxdtk22?kx?0即?(M2x?0?m)?2?kM2?m可见，物体A仍作简谐振动，此时圆频率为：??kM2?m?5.7(rad/s)由于初始条件：x0??l0,v0?0可知，A、?不变，故物体A的运动方程为:x?0.1cos(5.7t??)m2由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.8-3解：简谐振动的振动表达式：x?Acos(?t??)由题图可知，A?4?10?2m,当t=0时，将x?2?10?2m代入简谐振动表达式，得：cos??12由????Asin(?t??),当t=0时，????Asin?由图可知，?>0,即sin??0,故由cos??又因:t=1s时，x?2?10得???2?4cos????,3????1?cos?????3?2??212,取????3习题8-3图m,将其入代简谐振动表达式，由t=1s时,????Asin?????????????，?<0知，sin?????0,取??3?3?33?即质点作简谐振动的振动表达式为x?4?10?2??2?3s???2cos??t??m3??3?8-4解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r，由高斯?定理可知E??Qr4??0R3,则微粒在此处受电场力为:F????Qq4??0R3?r式中，负号表明电场F的方向与r的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：F?2?Qq4??0R23r?0drdt2mdrdt?Qq4??0R32r?0?2?Qq4??0mR3r?0令??Qq4??0Rm3则drdt22??r?023故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由T?2??4??0mRQq3知:T?2?8-5解：（1）取弹簧原长所在位置为O?点.当弹簧挂上物体A时，处于静止位置P点，有：Mg?kO?P将A与B粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O点，取O点为原坐标原点如图题8-5所示，则有：kO?O?(M?m)g设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量OO??x,则A、B系统所受合力为：F?(M?m)g?k(O?O?x)??kxdxdt22即可见A与B作简谐和振动.(2)