东城区2023-2024学年度第一学期期末教学统一检测高二数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）（1）A（2）C（3）B（4）C（5）A（6）D（7）B（8）B（9）A（10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）5（11）−1，x−y+2=0（12）（13）(−1,2)，15（14）0.8（15）①②③三、解答题（共5小题，共50分）（16）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为ABC−ABC是直三棱柱，z111AC11所以CC⊥底面ABC．B11D因为AC底面ABC，BC底面ABC，ExC所以CC⊥AC，CC⊥BC．A11因为AC⊥BC，如图建立空间直角坐标系C−xyz.yB设AC=2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，A(2,0,2)，C(0,0,2).11因为D，E分别为CC，BA的中点，11所以D(0,0,1)，E(1,1,1).所以DE=(1,1,0)，CC=(0,0,2)．1因为CC⊥底面ABC，所以CC是平面ABC的一个法向量．11因为DECC=10+10+02=0，所以DE⊥CC．11因为DE平面ABC，所以DE//平面ABC．………………6分（Ⅱ）因为BA=(2,−2,2)，BD=(0,−2,1)，设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，11BAn=0,2x−2y+2z=0,所以1即令y=1，则z=2，x=−1．于是n=(−1,1,2)．BDn=0.−2y+z=0.设平面ABD与平面ABC的夹角为，11|CCn||0(−1)+01+22|6所以cos=|cosCC,n|=1|==．1|CC||n|2(−1)2+12+22316所以平面ABD与平面ABC夹角的余弦值为．………………10分13（17）（共10分）解：（Ⅰ）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.5+0.2+0.1=0.8，所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为100000.8=8000.………………………4分（Ⅱ）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得P(A)=0.8.设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则P(B)=0.82=0.64.…7分（Ⅲ）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使0.21用电脑观看了开幕式，则P(C)==.1−0.24设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人17用电脑观看了开幕式，则P(D)=1−(1−)2=.……………10分416（18）（共10分）解：(Ⅰ)因为b为等比数列，b=1，b=8，n14设b的公比为q，则b=bq3=8.n41解得q=2.所以b=2.2因为a+b=2，所以a=0.222因为a为等差数列，a=1，n1所以a=−1.………………………4分3（Ⅱ）选择条件②：因为a为等差数列，b为等比数列，a=b=1，a+b=2，a+b=3，nn112233设a的公差为d，b的公比为q，nn2a+d+aq=2,d+q=1,则11即a+2d+aq2=3.2d+q2=2.11解得q=2或q=0（舍）.b−bq所以b=bqn−1=2n−1，T=1n=2n−1.……………………………10分n1n1−q（19）（共10分）x261解：（Ⅰ）由题意得b=1，则椭圆C的方程为+y2=1，代入N(,−)，可得a=2.a222x2故椭圆C的方程为+y2=1.………………4分2（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，Q(x,y).QQx2+y2=1,由2得(2k2+1)x2+8kx+6=0.y=kx+23由0，得k2.2设A(x,y)，B(x,y)，则D(x,−y).1122118k6x+x=−，xx=.122k2+1122k2+1y+y直线BD的方程为y−y=21(x−x)，2x−x221xy+xyx(kx+2)+x(kx+2)2kxx+2(x+x)令y=0，得x=1221=1221=1212.Qy+y(kx+2)+(kx+2)k(x+x)+412121212k16k−2k2+12k2+1所以x==−k.Q