函数的奇偶性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1<x≤1))的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案]C2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．x＋1B．x－1C．－x－1D．－x＋1[答案]A3．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式eq\f(f(x),x)>0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)B[eq\f(f(x),x)>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,f(x)>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0,f(x)<0)).又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故x∈(0,2)∪(－∞，－2)．]4.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－1，2a))上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－eq\f(1,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0，且a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).]5．已知y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象的对称轴是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝eq\f(1,2)D．x＝－eq\f(1,2)B[y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0，故选B.]二、填空题6．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．0[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.]7．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(3)等于________．eq\f(3,2)[令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋1＝－f(1)＋1，∴f(1)＝eq\f(1,2).令x＝1，得f(3)＝f(1)＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).]8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______.－1[因为y＝f(x)＋x2为奇函数，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1.]三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0,0，x＝0,－x2－2，x<0))[解](1)∵函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，不关于原点对称，∴该函数不具有奇偶性．(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．10．已知定义在(－1,1)上的函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1,1)上的单调性；(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.[解](1)因为f(x)＝eq\f(x,x2＋1)，所以f(－x)＝eq\f(－x,x2＋1)＝－eq\f(x,x2＋1)＝－f(x)．故f(x)＝eq\f(x,x2＋1)为奇函数．任取x1，x2∈(－1,1)且x1<x2，所以f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)－eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)＝eq\f(x2x\o\al(2,1)＋1－x1x\o\al(2,2)＋1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(