/NUMPAGES3不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔.另外，若b＞0，则有eq\f(a,b)＞1⇔a＞b；eq\f(a,b)＝1⇔a＝b；eq\f(a,b)＜1⇔a＜b.3．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔；(3)可加性：a＞b⇔a＋cb＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．三、典型题型题型一比较大小【例1】已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．解：∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是()．A.eq\f(a,b)＞1B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b题型二不等式的性质【例2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是()．A．1B．2C．3D．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．题型三不等式性质的应用【例3】已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.题型四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a＞b＞c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.证明：∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0，∴eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a－c)＞0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)＞0.又b－c＞0，∴eq\f(1,b－c)＞0.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.四、小结