8赌徒的难题——概率论的产生与发展17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲的数学家们继承了希腊数学的光荣传统，开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓概率论。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支竟然起源于对赌博问题的研究。然而，历史事实确是如此。8.1赌徒的难题出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，君命难为，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。赌友说，虽然梅累只需再碰上一次6点就赢了，但他若再碰上两次4点，也就赢了。所以他分得的金币应是梅累了一半，即64个金币的三分之一。梅累不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出一个4点，他还可以赢得赌金的二分之一，即32个；再加上下次他还有一半希望是6点，这样又可分得16个金币，所以他至少应得64个金币的四分之三。谁是谁非，争论不休，其结果也就不得而知了。不过梅累对于此事却一直耿耿于怀，所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。如前所述，帕斯卡是一位著名的“数学神童”。他出生于法国奥弗涅省的克勒芒一个富裕的省议员之家。3岁那年，母亲不幸去世，8岁时父亲为了专心培育三个子女，辞去省议员的职务，移居巴黎。老帕斯卡是一个数学爱好者，曾以发现“帕斯卡蜗牛线”等闻名于巴黎科学界，他经常带领儿子参加各种科学家的集会，特别是参加梅森学院的活动，使小帕斯卡的天资很快得到开发。帕斯卡从小就醉心于数学的研究。16岁时，他发现了“帕斯卡六边形定理”：“任何内接于圆锥曲线的六边形，三组对边的交点共线。”并从这个定理出发，导出了400多条推论，极大地丰富了圆锥曲线的理论。他以此写成的论文《论圆锥曲线》，竟使笛卡儿怀疑是其父亲的作品。成年以后，帕斯卡的数学研究更是成果累累，他的名气也响彻法国甚至整个欧洲。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。1654年，帕斯卡不得不写信给他的好友费马，和他展开讨论。在与费马的通信过程中，帕斯卡认为，梅累的分法是正确的。在《论算术三角形》（出版于1665年）一书中，他运用了组合知识解决了这一问题。其方法是：假设甲、乙二人约定，谁先得S分即为赢家。若中断赌局，甲积a（<S）分，乙积b（<S）分，则令m=S–a，n=S–b，则甲、乙二人应分得赌金之比为后来，他研究了更复杂的在多个赌徒间分赌注的问题。1655年，荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到帕斯卡与费马的工作详情之后，也饶有兴趣地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关于赌博中的推断》（1657年）一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。其实，这一问题的萌芽还可追溯到16世纪。例如，意大利数学家卡当就曾计算过投掷二或三颗骰子恰好掷出某一预想的点数的机会问题。并专门撰写过一本题为《论赌博》的著作，不过次书一直到卡当死后于1663年才出版，此时帕斯卡等人对分赌注问题的研究已取得了突破性的进展。8.2来自保险业的推动由此可以看出，如果一个人40岁，那么他当年死亡的概率是765÷78106≈0.0098，若1万个40岁的人参加保险，每人付a元的保险金，死亡可得b元人寿保险金。预期这1万个人中的死亡数是10000×0.0098=9.8人，因此，保险公司需付出9.8b元人寿保险金，其收支差额为10000a－9.8b，这就是公司的利润。由此可见，保险公司获得利润的关键在于事先能较准确地确定出所保险项目中危险的概率。但是，实际保险问题中蕴含着错综复杂的干扰因素，例如人寿保险中的死亡概率常常受到自杀、谋杀、车祸等非正常死亡因素的干扰，不便于人们探求其一般规律，而赌博中的投掷骰子就成了较为理想的模型。因此，从这类问题着手去探求偶然现象中的数学关系，这就是概率论的基本内容。由此可见，概率问题的研究常常和大量的数据统计联系在一起。所以，概率和数理统计就构成了研究偶然现象的或然数学的主要内容。8.3概率论的进一步发展通常我们把随机现象中可能发生的结果称为随机事件，并用大写英文字母A，B，C等表示。或然数学研究的基础内容之一，就是用概率来描述和表示这些随机事件发生的可能性的大小。寻求一个随机事件A发生的概率的基本方法是：先求出事件A发生的频率，它由事件A发生的次数与试验的总次数之比确定；增加试验次数，频率若趋向某一个稳定的数，那么这个数就是该事件A发生的概率，记为P（A）。如投掷硬币正面向上的概率P（A）=1/2，显然，任何事件A发生的次数不会大于试验总次数，也不会小于0，故总有当P（A）=1时，即试验中事件A每次都发