概率论在数模竞赛中的应用§1概率论的基础知识一、随机事件及其概率随机事件——在一次试验中可能发生也可能不发生的事件，记为AB,,。随机事件A发生的可能性的大小，称为事件A的概率，记为PA()。如果一次试验的结k果，有n种等可能的情形，其中有k种情形事件A会发生，则PA()。n概率运算法则：（1）逆事件（对立事件）A的概率PAPA()1()。（2）事件之和AB（AB）的概率P()()()()ABPAPBPAB。如果A与B互不相容（互斥），则PABPAPB()()()。（3）事件之差AB（AB）的概率P()()()ABPAPAB。如果AB，则PABPAPB()()()。（4）事件之积AB（AB）的概率P()()()()()ABPAPBAPBPAB。如果A与B相互独立，则P()()()ABPAPB。（5）在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率（条件概率）P()ABPAB()。PB()如果AB，则5PA()PAB()。PB()（6）全概率公式n设互不相容，，则BBB1,,,2nABii1n。PAPBPAB()()()iii1二、随机变量及其分布随机变量——随着试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量，记为,,（或XY,,）。（1）离散型随机变量的概率分布（分布列，分布律）P{}xipi，i1,2,。即有x1x2xiP{}xip1p2pi概率分布的主要性质：。，。P{}xipi1P{xi}pi0i1,2,ii（2）随机变量的分布函数F(){}xPx，x。分布函数的主要性质：P{}abF()()bFa。（3）连续型随机变量的概率密度（分布密度，密度函数）x如果有函数()x，使得对任何实数x，都有F(){}xPx(x)dx，则称()x是的概率密度。概率密度的主要性质：6d()xF()x。dx(x)dx1。(x)0，x。bP{}ab(x)dx。a（4）随机变量的独立性随机变量与的相互独立的充分必要条件是：F(,){,}xyPxyP{}{}()()xPyFxFy，x,y。离散型随机变量与的相互独立的充分必要条件是：P{,}xiyjP{}{}xiPyj，i,j1,2,。连续型随机变量与的相互独立的充分必要条件是：2dd(,)(,)xyFxyF()xF()()()yxy，x,y。xydxdy三、随机变量的数字特征数字特征——能够将随机变量分布的主要特征表达出来的数字。（1）随机变量的数学期望（均值）ExP{}x当的概率分布为P{}x时iiii。Ex()xdx当的概率密度为()x时（2）随机变量的函数f()的数学期望Ef()f(){}xPx当的概率分布为P{}x时iiii。Ef()f()()xxdx当的概率密度为()x时（3）随机变量的方差D（Var）DEE()2EE()()22。（4）随机变量的标准差（均方差，根方差）D。7（5）随机变量与的协方差（相关矩）Cov(,)Cov(,)EEE[()()]EEE()。（6）随机变量与的相关系数（r）Cov(,)。DD（7）数字特征的运算法则（设BC,为常数，,为随机变量）E()BCBEC，E()EE，DBCBE()2。当与相互独立时，有D()DD，EEE()，Cov(,)0，0。四、常用分布及其数字特征数学方差分布分布期望概率分布或概率密度名称记号DE二项kknknpb(,)npP{k}Cnp(1p)，k0,1,,nnp(1p)分布kPoissonP()P{}ke，k0,1,2,分布k!几何11pg()pP{k}