非线性方程模型实验问题:如下就是一则房产广告。不难算出,您向银行共借了25、2万,30年内共要还51、696万,约为当初借款得两倍,这个案例中贷款年利率就是多少？分析设xk—第k个月得欠款数;a—月还款数;r—为月利率,我们得到迭代关系式xk+1=(1+r)xk-a(2、1)那么xk=(1+r)xk-1-a=(1+r)2xk-2-(1+r)a-a=…=…=(1+r)kx0-a[(1+r)k-1]/r根据a=0、1436,x0=25、2,x360=0得到25、2(1+r)360-0、1436[(1+r)360-1]/r=0(2、2)关于月利率r得高次代数方程。年利率R=12r、非线性方程(组)简介若方程就是未知量x得多项式,称为高次代数方程;若方程包含x得超越函数,称为超越方程。一元非线性方程得一般形式为f(x)=0(2、3)若对于数a有f(a)=0,则称a为方程(2、3)得解或根,也称为函数f(x)得零点。方程得根可能就是实数也可能就是复数。相应地称为实根与复根。如果对于数a有f(a)=0,f(a)0,则a称为单根,如果有k>1,f(a)=f(a)=…=f(k-1)(a)=0但f(k)(a)≠0,称为k重根,对于高次代数方程,其根得个数与其次数相同(包括重数),至于超越方程,其界可能就是一个或几个甚至无穷多,也可能无解。常见得求解问题有如下两重要求:一种就是要求定出在给定范围内得某个解,而解得粗略位置事先从问题得物理背景或应用(作图等)其她方法得知;另一种就是定出方程得全部解,或者给定区域内得所有解,而解得个数未知。除少数特殊得方程可以利用公式直接求解(如4次以下代数方程),一般都没有解析求解方法,只能靠数值方法求得近似解。常见得数值方法有二分法等。n元非线性方程组得一般形式为fi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,…,m(2、4)非线性方程组得解极少能用解析法求得。常用得数值方法就是Newton法、拟Newton法与最优化方法等。解方程与方程组得MATLAB命令1、多项式得根2、一元函数零点>>fzero('sin(x)-0、1*x',6)ans=7、0682>>fzero('sin(x)-0、1*x',[2,6])ans=2、8523大家学习辛苦了，还是要坚持3、非线性方程组求解然后用>>[x,y,f]=fsolve('eg2_2fun',[0,0])x=0、23260、0565y=1、0e-006*0、09080、1798f=1注:X返回解向量,y返回误差向量,f>0则解收敛。或直接用>>[x,y,f]=fsolve('[4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)、^2/8]',[0,0])x=0、23260、0565y=1、0e-006*0、09080、1798f=1注意:fsolve采用最小二乘优化法,稳定性比fzero好,但fsolve可能陷入局部极小。试用fsolve解x2+x+1=0,瞧会发生什么？不要完全相信计算机。4、解析求解solve>>[x,y]=solve('4*x-y+exp(x)/10=1','-x+4*y+y^2/8=0','x,y')x=、2329758313y=、589742242891748561961e-1注意所得得解与fsolve得不同。注意:虽然solve可用于求数值解,但速度很慢,且有很大得局限性,不提倡使用。数值解法:图解法与迭代法可知±8、5,±7,±3,0附近各有一解。2、迭代法(牛顿法,切线法)例求如下方程得正根(要求精度=10-6)x2-3x+ex=2唯一正根在1附近,取x0=1,迭代格式贷款利率问题求解练习补充:混沌线性迭代要么收敛于它得不动点,要么趋于无穷大;而不收敛得非线性迭代可能会趋于无穷大,也可能趋于一个周期解,但也可能在一个有限区域内杂乱无章地动弹,由确定性运动导致得貌似随机得现象称为混沌现象。下面就Logistic迭代研究这一现象。1、昆虫数量得Logistic模型2、平衡与稳定称a为映射g(x)得平衡解或不动点,若g(x)=ax(1-x)、解方程x=ax(1-x)得(2、7)式两个不动点0与1-1/a、若初始值恰好为不动点,迭代式(2、7)得只永不改变。如果对于不动点x0附近得初始值,(2、7)收敛与此不动点,我们称这一不动点就是稳定得。当0x<1,在[0,1]内只有一个不动点0,且由|g(0)|=a<1,可知它就是稳定得。说明资源匮乏时,昆虫趋于死亡。当a>1,不动点0不再稳定,而由|g(1-1/a)|=|2-a|<1可知1<a<3时不动点1-1/a稳定,说明资源适当时,昆虫稳定于一