,,兰州大学学报(自然科学版)19943()(l):142一143研究简报JOURNALOFLANZHOUUNIVERSITY(N:,turalScienc护、)关于线性向量差分方程组的通解¹赵双锁董国雄(兰州大学数学系,兰州,730000)如同线性差分方程的通解表示在研究解常微分方程初值问题的线性多步法以及以该方法为基础而构造的一大类方法的相容性、稳定性和收敛性及其相互关系的理论中起有异常重要作用一样,可以预料,线性向量差分方程组。,,,,,,,r‘,‘艺扛Au一一b,,n一o‘2一(A·’存在,A,任RXb二任R(‘,的通解表示将在解常微分方程初值问题的线性多块方法以及以该方法为基础而构造出的一大.类块方法的相容性、稳定性和收敛性及其相互关系的理论研究中起有重要作用本文给出.(1)的通解表示记T“,,『,,一。,,,,xRxR,‘‘k*‘“x一(x了x姜一l’任任一(,(,一艺{A,:Zl{QQQ!o川,,一’,.G一代0100卜Q=一A:A,j=O(1)k一1L00⋯101引理设几是G的特征值,二护。是相应的特征向量,则’,,,,,抓几)x,一Ox一(扩’x百矛’x万⋯七万x万)了;反之,如果又和x,并。满足抓劝x,一。,则又是G的特征值,x一(矛一’对,护一’对,⋯,赶r,x万)T.是相应的特征问量‘.以下记以,x*)为抓幻x*一。的。重解我们有.定理1设抓幻x,一ox*尝。的所有可能解为‘··’‘,‘、,二,,)‘”,、,二2)‘,、,x1二’、一),illl,(上:(二){一(上):一()(2),,‘,,,,‘’,,l,,其中几⋯又互异对固定ix护”x护”⋯x工,r线性无关}lx迄州}一1j=l(1)r一,,:,:名{艺;:‘尸一*则k个函数,!,,.。‘,‘·.‘,,,“”,,,)r”)’),,‘’,),又x,衬x二m把x;即x止⋯n:尸二i=1(1)1=1(l)(3),构成(l)的齐方程(b,一0)的一基本解组从而该齐方程的通解可表为u,一,工一*::’“’”,)·了乙鱿三心mx之心为任意常数(4).本文1992年4月20日收到.¹甘肃省自然科学基金资助课题:1期赵双锁等关于线性向圣差分方程组的通解143证先证抓幻的诸阶导数满足··,,x‘,,,,r‘,。,,,‘,,’x‘,,(入)工=oi=)z~z(1)一。(z)*李一l于(入)王井;尹川j尹0,再直接验证(3)中每一函数都是(l)的齐方程的解;最后对(4)的每一分量,采用[3〕·,:,2,,,,,,,中证法注意又又⋯凡的互异性和x二”x全”⋯x护介的线性无关性即可由(4)为零推..出c护三0由此即得该定理定理2在定理1的条件下,(l)的通解为,·,一。,m,一+m习几名共写竺;理加尸习:几‘列(5)这里,短阵簇G二是齐方程组_。+,习:AJG-j一“m>”.,.,.,在初始条件A石_.一I认+,.一0]一1(1)k一1,,..下的解并规定当m<n+1时G、一0,,当l一krb--b时(l)的通解(5)为,:.,,,,“cx”“c‘,一习九却护+习公G为常数(6)而(4)给出的“通解”为,,y_,_,。十‘_。A,一’“C,。R:一习:习:几;习{(7).这里“,是G的特征值,,我们指出(7)不是(1)在这种情况下的通解请看例子:、、产rn上,†AnU人lwe.l1产U劝U脚⋯8月一一l()2}0,,,一;;,显然乙,一A,一。为奇异矩阵因而(7)无意义又易知b=o时(7)(产=1}一3{产22=一l,产22=2,产2,-一2)为+()·,+·+‘一一二9一⋯沙{沙(),,,,·’。’,,·‘,,而(6)(又:=1风:=一l几3=2几;=一2x;,,~x;,)=(1o)Tx;3,,=x;,,=(ol)T)为_,1\,l{,0),0}.u·=c:}}+cZ(一1)’}}+c32一}】十c;(一2)’}1(10)(0}}0{{1{(l{,,.直接验证可知(10)是(8)的齐方程的通解而(9)则不是参考文献.1HanrieiP肠seretevariablemethodsinODE、NewYork:Wiley,1962,..:,汤怀民胡健伟微分方程数值方法天津南天大学出版社1990,36~60....,:,.A0盖尔芬德有限差计算下册北京高等教育出版社1956320~324..·南京大学数学系计算数学专业