线性方程组解的结构我们已经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法,并得到两个重要定理:(1)元线性方程组有解的充要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,当时,方程组有唯一解;当时,方程组有无限多解.(2)元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩.当方程组有无限多解时,我们要讨论线性方程组解的结构,先讨论齐次线性方程组.元齐次线性方程组(1)的系数矩阵,则方程组(1)写成矩阵方程:(2)方程组(1)的解称为方程组(1)的解向量,它就是矩阵方程(2)的解.下面讨论解向量的性质.性质1若,为方程组的解,则也是方程组的解.证因为,所以方程组的解.性质２若为方程组的解,为实数,则也是方程组的解.证因为,所以是方程的解.若把齐次线性方程组(1)的全体解所组成的集合记作,则有当时,方程组(1)只有零解,此时中只含一个零向量;当时,方程组(1)有无穷多解,中含有无穷多个解向量.如果能求得解集的一个最大无关组,,,,那么方程组(1)的任一解都可由最大无关组线性表示;另一方面,由上述两性质知,最大无关组的任何线性组合都是方程组(1)的解.因此上式就是方程组(1)的通解.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.由以上的讨论知,求齐次线性方程组的通解,只需求出它的一个基础解系.定理1当元齐次线性方程组的系数矩阵的秩时,它的基础解系含有个解向量.证因,不妨设的前列向量线性无关,于是经过初等行变换化为的行最简形矩阵为:对应的方程组为(3)取,,为自由未知量（共个）,任给,,一组值,就能唯一确定,,的值,从而得方程组(3)的一个解,即方程组(1)的解.令,,分别取下列组数:,,,由方程组(3)依次可唯一确定,,从而得到方程组(3)即方程组(1)的个解:,,,下面证明,,,,就是解集的一个基础解系.首先,由于,,,线性无关,所以在每个向量的前面添加个分量得到的个维向量,,,也线性无关.其次,方程组(1)的任一解都可由,,,线性表示,即因此,,,,是解集的一个基础解系,当时,基础解系中含有个解向量,即自由未知量的个数.此定理的证明给出了求基础解系的一个方法.例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解.因为,方程组有非零解（其中有个自由未知量）.对应的方程组为:,选取,,为自由未知量,得:,其中一个基础解系为,,,通解为（,,为任意常数）.我们知道,齐次线性线性方程组的基础解系不是唯一的,它与自由未知量的选取及自由未知量的取值都有关.下面讨论非齐次线性方程组解的结构.元非齐次线性方程组(4)写成矩阵方程为(5)它具有以下性质性质3设,都是方程组的解,则为对应齐次线性方程组的解.证,即满足方程.性质4设是方程的解,是方程的解,则仍是方程的解.证,即满足方程.于是可得定理2元非齐次线性方程组,其中,它的一个特解为,对应齐次线性方程组的通解,则非齐次线性方程组的通解为（,,,为任意常数）证由性质４知:是非齐次线性方程组的解,又假设是非齐次线性方程组的任一解,由性质３知:是对应齐次线性方程组的解,可由基础解系,,,线性表示,即存在一组数,,,使得:成立,即.例2解线性方程组.解将增广矩阵用初等行变换化行最简形矩阵,增广矩阵,可知,方程组有无穷多解.对应的方程组为,对应的齐次线性方程组为.令,得到:,,得到特解:,对应齐次线性方程组的基础解系为:,,,于是方程组的通解为:,即（,,为任意常数）.例3设,证明:.证记,则,即（）(说明:的列向量,,,都是齐次方程的解).设方程的解集为,则（）,于是的秩,而的秩为基础解系中所含解向量的个数,故,即.