参数法巧解直线与圆锥曲线问题.pdf
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60(2010年第8期高中版)数学探究参数法巧解直线与圆锥曲线问题211200南京市溧水县第二高级中学张忠直线与圆锥曲线问题是高中数学的难点,也是高考解法2求出直线方程,并与双曲线方程联立消元,中的热点问题同时它广泛地存在于科学研究、工程技,设两点坐标为(x1,y1),(x2,y2)再利用韦达定理求出线术中.下面我们运用参数法来解决直线与圆锥曲线的一段长.该法解题中较常用,但要注意变形过程.些常见问题,本文试图就几类较为常见问题的探究,给下面我们用参数法来解读者一些有益的启示.3x=-3+s,1弦长问题2解法3直线的参数方程为(s为参例1过点P(-3,0)且倾斜角为30的直线与双曲122y=s,线x-y=4相交于A,B两点,求弦AB的长.2解法1求出直线方程,并与双曲线方程联立,求出数),将直线的参数方程代入双曲线方程x2-y2=4,得s2交点坐标,再由坐标求出线段长.该法思路较清晰,但在-63s+10=0.设A,B对应的参数分别为s1,s2,计算交的时,计算量往往较大.解设PF倾斜角为,则tan=-43,cos=-21+e221+e2mn=(a+c-r)(a-c-r)1-e1-e143,sin=,而a=10,b=8,c=6,将有关值代入形式21+e277mn=b+r,∃1-e14之(2)得|PF|=7.故S=|PF||EF|sin=243.32因为a=5,b=3,c=4,e=,mn=13,将有关值代5x2y2例3(2004年希望杯培训题)P是椭圆+=1入∃解得r=1.4520所以∀EPF的内切圆面积S=r2=.上的一点,E,F是左右焦点,若|PF||PE|=40.求!EPF22例年北京高考题是椭圆xy的大小.6(2006)P2+2=1(aab解由题意及形式5得m=45+45-40=4>b>0)上的一点,E,F是左右焦点,若PE%EF,|PE|=5,n=25,m2+n2=100,而414,|PF|=,求椭圆方程.2233|EF|=4c=425=100,所以∀EPF是直角三角解设椭圆的半焦距为c,PF交y轴于Q点,则由形,故!EPF=90为所求.题意知=PQ#QF=1,所以|PF|=a+ce=a+ce=ax2y2例4(2004年上海高考题)P是椭圆+=1上c214c2494+=,|PE|=a-ce=a-ce=a-=,联立两a3a3的一点,E,F是左右焦点,若!FPE=90,求|PE|#|PF|x2式解得a=3,c=5,b=2,故所求的椭圆方程为圆+的值.9解由!FPE=90及勾股定理得y2=1.m2+n2=|EF|2=4c2=20,∃42266xy又由题意及形式6得m=,n=,代入∃解例7(新编题)P是椭圆+=1上的一点,E,F1+1+1691是左右焦点,若|PF||PE|=7.求∀EPF的内心A到y得=2或=为所求.2轴的距离.x2y2解设A(x,y),则由题意及形式11得|PF||PE|例5(新编题)P是椭圆+=1上的一点,E,F259=a2-x2=16-x2=7,解得|x|=3,所以内心A到y轴的是左右焦点,若|PF||PE|=13.求∀EPF的内切圆面积.距离是3.解由题意及形式9得(收稿日期:20100510)年第期高中版数学探究(20108)61视直线斜率不存在的情形.&s1+s2=63,s1s2=10,2解法2设出直线方程,再与圆的方程联立利用∀AB=s1-s2=(s1+s2)-4s1s2=217.=0求出斜率.但仍不能忽视直线斜率不存在的情形.&线段AB的长为217.下面我们用参数法来解2中点弦问题解法3设过点P(-1,1)的直线l的参数方程方程为21x2例2已知直线l过点P(-3,)交椭圆+y=24x=-1+scos!,s为参数,其中!为倾斜角0(!(.1于A,B两点,且点P平分弦AB,求直线l的方程.y=1+ssin!,将直线的参数方程代入圆方程,得解法1可设交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)且s2+(6sin!-4cos!)s+9=0x1∋x2,分别代入椭圆方程,并联立作差,利用中点坐标1)直线l与圆仅有一个交点,P(-3,),可以求出直线l斜率,进而求出直线方程,2&上述方程有且仅有一解,所以∀=0并检验所求的直线与椭圆是否有两个交点,但该法还不25&5cos!+12sin!cos!=0得cos!=0或tan!=-12应忽视特殊情况x1=x2时.当cos