22数学通讯2011年第3期(上半月)辅教导学巧用直线的参数方程解一类焦点弦长问题彭耿铃(福建省泉州市第七中学,362000)解析几何中的动直线过焦点问题是高考中一2ab2=2222种常考的题型.这类问题在高考中主要考察直线|asin+bcos|与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、不等式的解2b2a法,考察分类与整合思想以及学生的运算能力和=22b2|sin+2cos|综合解题能力,所涉及到的知识点多、覆盖面广、a综合性较强不少学生常常因缺乏解题策略导致2,2b解答过程繁难、运算量大,甚至半途而废,严重影a=222响了学生的高考成绩.|sin+(1-e)cos|本文给出一个常用定理,并选取近几年高考H=22.中的几道动直线过焦点问题的压轴题为例,巧用|1-ecos|直线的参数方程来解题,可化繁为简,减少计算过下面我们利用上述焦点弦长公式来巧解几道程,易于被学生接受.高考试题.定理已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物例1(2007年全国卷文第22题)已知椭22线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),过焦点xy圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的F且倾斜角为的直线l与圆锥曲线交于A、B两32点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则:直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长A、C两点,且ACBD,垂足为P.22Hx0y000AB=22;(1)设P点的坐标为(x,y),证明:+|1-ecos|32(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长<1;H(2)求四边形ABCD的面积的最小值.AB=22.|1-esin|本文仅以焦点在x轴上、中心在原点的椭圆为例给出证明,其它情形请读者自证.x2y2证明设椭圆方程为2+2=1(a>b>ab20),通径H=2b,离心率e=c,弦AB所在的直aa图1线l的方程为y=k(x-c)(其中k=tan,为直解(1)较为简单,这里省略!线l的倾斜角),其参数方程为222(2)易求得椭圆x+y=1,通径H=2b=x=c+tcos32a(t为参数).y=tsin43,离心率e=3.代入椭圆方程并整理得:33(a2sin2+b2cos2)t2+2b2ccost-b4=0,如图1,设直线BD的倾斜角为,由ACBD由t的几何意义可得:可知直线AC的倾斜角为+.又因为BD、AC分22|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)-4t1t21222别过椭圆的左、右焦点F、F,于是由定理可得2bccos2-4b=(-2222)-2222asin+bcosasin+bcosH43|BD|=22=2,1-ecos3-cos辅教导学数学通讯2011年第3期(上半月)23H43b25|AC|==2.e=1+()=.1-e2cos2(+)3-sina22()设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则四边形ABCD的面积=+,cos=-sin.S=1|BD||AC|22122()14343962tan21sin=2==,=22=2.12523-cos3-sin24+sin21+tan1+()22[0,),sin2[0,1].21cos=.S[96,4],5252b2b双曲线的通径H==2b=b.故四边形ABCD面积的最小值为96.aa25又设直线AB与双曲线的交点为M、N,于是例2(2008年全国卷理第21题)双曲线H的中心为原点焦点在轴上两条渐近线分别由定理可得:|MN|=22=4,即O,x,1-ecos为l1、l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、b=4,解得b=3,从而a=6.l2于A、B两点.已知OA、AB、OB成等差1-(5)21数列,且BF与FA同向.2522()求双曲线的离心率;所求的椭圆方程为x-y=1.369()设AB被双曲线所截得的线段的长为4,例年辽宁理科求双曲线的方程.3(2010x2y2第20题)设椭圆C:2+2ab=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,AF=2FB.图3图2()求椭圆C的离心率;22xy15解()设双曲线的方程为2-2=1(a>()如果AB=,求椭圆C的方程.ab40,b>0),OA、AB、|OB|成等差数列,设解()设直