第卷第期济南文通高等专科学校学报年多目标规划问题及其解决方法汽车工程系徐安摘要由于多目标规划问题的直接解法难度较高,所以,木文从问题的背景和容许性出发,讨论了在各种意义下共多目标规划问题转化为较易解决的单目标规划问题的几种方法。关键词多目标规划解决方法多目标规划问题我们把具有两个或两个以上目标函数的规划问题,叫做多目标规划。一般地‘考虑个变量,,⋯,。,记作一,,,⋯,。,个约束条件,⋯,二,记作,,,⋯,,个目标函数王,,,⋯,,,记作,,⋯,,丁,则可以不失一般性地将一,⋯,任。,”,,,称为多目标规划的标准形式其中任仪任一,⋯,。这里,有两点需要申明,一是我们所讨论的多目标规划戈中,目标都是规范化的二是目标函数,,,一,王为一维向量函数,其最小值需在下面予以界定。向量集的极值问题众所周知,维空间中的点一,,,。了为一维向量。为了比较向量集合中向量的大小,需引进以下几个向量不等式记号。为此,设,,,⋯,丁,,,,·⋯几丁任·并且规定之的充要条件为乡,,,,⋯本文一一收到的充要条件为’,一,⋯,之的充要条件为》,,,·⋯但至少存在一个毛。砚使。接下来,设”注意,这里的为”中的点集。为书写方便不另加标识,但应将其与维向量区别开来。以下情况类似任如果对一切任有”墓则称“为的绝对最小向量。绝对最小向量是按其每个分量都最小界定的。显然,这种向·量是非常理想的。但一般情况下,它很难存在。为此再设仁,“任如果对一切任有。三或‘则称为网量集合的最小间量或弱最小问量。由于在维空间中,向量和与其相应的点不加区别,因此将以点集合的绝对最优点、有效点和弱有效点来指代向量集合的绝对最小问量、最小问量和弱最小向量。点集合的绝对最优点、有效点和弱有效点的全体分别记作。、和二三者之间具有以下简单的包含关系。仁二,咬同时,点集合的有效点和弱有效点必是的边界点。多目标规划的绝对最优解、有效解和弱有效解若’任且对任意及一切一,,均有毛’墓则称’是多目标规划的绝对最优解其全体记作。。基于与本文前面相同的道理,再给出多目标规划的有效解和弱有效解的概念。设。任,如果对任意任,月。二或。则称。是多目标规划的有效解或弱有效解,其全体分别记作。和二。。对多目标规划,总有、,二,仁接下来,我们自然会对有效解弱有效解、与有效点弱有效点之间的关系产生兴趣。对此,若称哎任为约束集合的像集,则有如下定理成立。定理在像集上,若已知二,则在约束集合上,便有产任一‘厂马勺工刁了、声、‘℃,二任一、任定理表明,像集上有效点弱有效点的原像就是多目标规划的有效解弱有效解。解决多目标规划问题的几种方法要求个目标同时实现最优,往往是很困难的,常常是有所失才能有所得。在各种不同的思路下,对得失的不同考虑就引出了各种合理处理得失的方法。而且,由于直接解多目标问题较为困难,所以也往往将它们转化为较易求解的单目标问题,由于转化的方法不同,也形成了多种方法。在此仅对几种较为主要的方法进行论述。主要目标法在所有的个目标函数中若根据具体问题的实际含义确定了一补主要目标,而将其他目标在一定的允许界限内当作约束条件来处理,这样就把原来的多目标问题转化为一个以主要目标为目标的单目标规划。不妨设为主要目标而对其余目标,给定一组允许界限,如羁簇,落,二一其中当为一二或为。时,转为单边限制。如此处理后,多目标规划即转化为下述单目标规划任’任簇,簇灯,,⋯,主要目标法简单可行,它可以在保证次要目标取值的前提下,求出主要目标尽可能好的值,因而对实际间题往往很适用。分层序列法由于同时处理多目标规划比较困难,故可将各目标按其重要程度排出一个次序,然后,在前一目标最优解的基础上,求后一目标的最优解,因而每次需解决的都是一个单目标间题为此,不妨设各目标函数按其重要程度排成如下次序,,⋯,几首先,对第一个目标函数求最优,并找出其所有最优解的集合,记为然后,在,内求第二个目标函数的最优解,记此时的最优解集合为依次类推,直至求出第个目标函数的最优解求解过程的模型如下,〔份暇‘获一,中丫图就二,一一二,。一的情形给出,,和。的几何解释。显然,分层序列法意义下的最优解只能保证最重要目标的最优。同时该方法有解的前提是,·,⋯,非空且,,,⋯,一,都不能只有一个元素,否则,很难进行下去。可以证明,。仁办,即分层序列法意义下的最优解都是有效解。功效系数法在涉及某些多目标优化问题时,要求个目标函数中,前个目标越小越好,后一个目标越大越好。所谓功效系数法,就是针对这些目标函数值