5.多目标规划多目标规划建模——引例多目标规划模型多目标规划的示意图多目标规划的性质多目标规划重要算法引例1：投资问题某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投资。若可供选择的项目记为1，2，...，m。而且一旦对第i个项目投资，就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如何如确定最佳的投资方案？⎧1对第i个项目投资xi=⎨⎩0不对第i个项目投资m双目标规划约束条件为：⎧ax≤a⎪∑i=1ii⎨⎩⎪xi()1−xi=0,i=1,2,L,m最佳的投资方案——投资最少、收益最大mminf(x,x,,x)=ax投资最少：112Lm∑i=1iim收益最大maxf(x,x,,x)=cx212Lm∑i=1ii引例2：生产问题某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，而产品B每单位利润为8元，产品A每单位需3小时装配时间而B为2小时，每周总装配有效时间为120小时。工厂允许加班，但加班生产出来的产品利润的减去1元，根据最近的合同，厂商每周最少得向用户提供两种产品各30单位。要求:1)必须遵守合同；2)尽可能少加班；3)利润最大.问怎样安排生产？每周正常时间生产得A产品数量——x1约束条件为：每周加班时间生产得A产品数量——x2⎧x1+x2≥30⎪每周正常时间生产得B产品数量——x3⎪x3+x4≥30每周加班时间生产得B产品数量——x⎨4⎪3x1+2x3≤120⎪加班最少利润最大⎩xi≥0min3x2+2x4max10x1+9x2+8x3+7x4多目标规划的模型一般形式:V-min{f1(X),f2(X),,fp(X)}X∈RnL⎧gj(X)≤0j=1,2,...,m;s.t.⎨⎩hk()X=0k=1,2,...,l.函数fi,gj,hk满足nnnp≥2fi:R→R,gj:R→R,hk:R→R,求目标函数的最大值或约束条件为大于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．定义1把满足问题中约束条件的解X∈Rn称为可行解(或可行点)，所有可行点的集合称为可行集(或可行域)．记为D．即:nD={X|gj(X)≤0,hk(X)=0,X∈R}原问题可简记为V-min{f1(X),f2(X),,fp(X)}X∈DL定义2x*是绝对最优解ÅÆfj(X)≥fj(x*),任意X∈D,j=1~px*是有效解(Pareto解)ÅÆ不存在X∈D,使得fj(X)≤fj(x*),j=1~p,且存在fj0(X)<fj0(x*),x*是弱有效解ÅÆ不存在X∈D,使得fj(X)<fj(x*),j=1~p有效解=绝对最优解＝有效解弱有效解定义3像集F(R)={F(x)|x∈R}ÅÆ约束集R在映像F之下的值域F*是有效点ÅÆ不存在F∈F(R),使得F≤F*；F*是弱有效点ÅÆ不存在F∈F(R),使得F<F；f2≥f2f2*f1f1*f2f2*f1有效点＝f1*弱有效点有效点f2*f1f1*弱有效点多目标规划的基本解法基本思想——转换为单目标规划问题(1)约束法(2)分层序列法(3)功效系数法(4)评价函数法V-min{f1(X),f2(X)(),,fpX}X∈DL1.约束法——在多个目标中选定一个主要目标，而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不比此期望值坏的条件下，求主要目标的最优值。V-min{f1()X,f2(X),,fp(X)}X∈DLminfX⎪⎧1()⇒X∈D⎨00⎩⎪f2(X)≤f2,L,fp(X)≤fp,多目标规划的基本解法2.分层序列法——把多个目标按其重要程度排序，先求出第一个目标的最优解，再在达到此目标的条件下求第二个目标的最优解，依此类推直到最后一个求解结束即得到最优解。V-min{f1()X,f2(X),,fp(X)}X∈DL改进——宽容分层⇒(1):f1*=minf1(X)X∈D序列法：给前面的(2)f2*=minf2()X最优值设定一定的X∈DI{}x|f1(X)≤f1*L宽容值ε>0,即此(p)fp*=minfp()X目标值再差ε也是X∈DI{}x|fj(X)≤fj*,j=1,2,L,p−1可接受的!缺点：当前面的问题最优解唯一时，后面的求解失去意义！多目标规划的基本解法3.功效系数法——对不同类型的目标函数统一量纲，分别得到一个功效系数函数，然后求所有功效系数乘积的最优解。例如：V-min{f1()X,f2(X),,fp(X)}⇒X∈DLfjmin=minfj(X)X∈Dfjmax−fj(X)⇒dj(X)=