课题:§3.4基本不等式ab?第1课时a?b2授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?【教学难点】基本不等式ab?【教学过程】a?b的证明过程；2a?b等号成立条件21.课题导入基本不等式ab?a?b的几何背景：2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a?b。这样，4个直角三角形的面积的2222和是2ab，正方形的面积为a?b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们22就得到了一个不等式：a?b?2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2?b2?2ab。2．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当?b时取"?"号)a223．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2?b2?2ab?(a?b)2当a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,所以，(a?b)?0，即(a?b)?2ab.2224．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?a?b2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得a?b?2ab，通常我们把上式写作：ab?a?b(a>0,b>0)2a?b2）从不等式的性质推导基本不等式ab?2a?b?ab2a+b?a+b（(1)用分析法证明：要证只要证要证（2），只要证要证（3），只要证?0）2(2)（3）（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。3）理解基本不等式ab?a?b的几何意义2探究：课本的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA?ＣB即ＣD＝ab.这个圆的半径为2a?b的几2a?ba?b?ab，其中当且仅当点C与，显然，它大于或等于CD，即22a?b几何意义是“半径不小于半弦”2圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式ab?评述：1.如果把a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2a?b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.例1已知x、y都是正数，求证：(1)yx?≥2；xy223333(2)（x＋y）x＋y）x＋y）≥８xy.（（分析：在运用定理：a?b?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把2握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：∵x，y都是正数∴xy2233＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0xy(1)xyxyxy??2?＝2即?≥2.yxyxyxx2＋y2≥2x2y2＞0x3＋y3≥2x3y3(2)x＋y≥2xy＞0＞02233332233∴（x＋y）x＋y）x＋y）≥2xy?2xy?2xy＝８xy（（即（x＋y）x＋y）x＋y）≥８xy.（（2233333.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）b＋c）c＋a）≥８abc（（分析：对于此类题目，选择定理：果.解：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2ab＞0a?b?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结2b＋c≥2bc＞0c＋a≥2ac＞0∴（a＋b）b＋c）c＋a）≥2ab?2bc?2ac＝８abc（（即（a＋b）b＋c）c＋a）≥８abc.（（4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（22a?b），2a?b≥ab）.它们成立的条件不同