数学通讯一2010年第4期(下半月)·课外园地·应用柯西不等式证明竞赛中的不等式蔡玉书(江苏省苏州市第一中学，215006)柯西不等式是一个重要的不等式，它结构对称，∈R，且+j，+1球证：xy+yz近年来，在国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与之有关的题目，灵活而巧妙地应用柯西不等式，往+．往使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果．证明由均值不等式得≤羔，≤柯西不等式设a1，口2，⋯，a；b1'b2，⋯b是丁x+z，≤字，及3(xy++放)≤(+两组实数，则有nl‘6；≥(b1)．其中等号)2．成立当且仅当al：盘2：⋯：，=b1：b2：⋯：b．由柯西不等式得推论1设al，a2，⋯，a，是正实数，则(a1+(+yz+xz)+盘z+．一+8)(云+a2+．．．+an)≥n2"其中等号成≤(+z1．yzzz+z)(++z)立当且仅当a1=a2=⋯=a．xyyzztxy‘。(++)+(x2=．yz十五．2：y+2z+xYz2)推论2设n1，a2，⋯，是实数，则，耋口；=≥(ak)．其中等号成立当且仅当口=盘2=⋯=，(xy++z)十(置x+y‘+z卫+y。’a”．≤(+)+字字孚·z)一：至!±±兰±至(±丝±兰兰2变形1i∑=1’b‘耋∑=l扫≥(i耋∑=l嘶n⋯)；4”，了”(±丝±婴)变形2∑b∑≥(∑盘)．。4i=l。i=1Di=1下面从国内外数学竞赛题中列举数例以示应≤+用．=例1(1998年伊朗数学奥林匹克试题)如果z，，z≥1，且++=2，证明：v厂歹≥=(移、++~／厂=1．所以，塾++．：．,／xy+yz√+zz4xz+xyz证明注意到十十：2，由柯西不等式得z例3(2004#--中国西部数学奥林匹克试题)十+≥历+求证：对任意正实数日，6，c，都有1<南+历+，而d++d：3～(++)：丽b+高≤．zzYz证明不等式的左边易证．事实上，一广ai+1，~／口+b所以，不等式得证．、丽／／6b++~／C>ab+ab+例2(2006年国家集训队考试题)设z，Y，2f+口2++c++c数学通讯一2010年第4期(下半月)·课外园地·8)：一2f0一t+20t+28=(t+2)(7—2t)≥0，所所以以原不等式得证．⑤等号成立当且仅当yz==一2及卫=】蓦忐≥且由不等式⑤得志：詈．即yz一2，及3724(+z∑)=4(+2+2yz)=4(9一一4)=20—42也即=5／7=4，Y~／—n2+—2n—2n+—l"1l+z=±1，．yz=一2．而z≥≥z，故z=2，Y=求⑥2，=一1．}圭j将不等式⑥代人③得例7(2006年国家集训队试题)设1，X2，2／⋯，z是正数丽⑦(未)(盏志)≤①所以(高)(=J士1xi)≤笔彳．证明由柯西不等式得例8(2005．q-塞尔维亚奥林匹克试题)已知是正整，求证：X+y+++．．．+，，q’ZzZqX砉≥又从∑而盈=V101l证明由柯西不等式得(意++—：=)(z、／+Y~／_F+~／)≥(+、／Z十VY+z)．又由柯西不等式得阿理盈X历+Y+／=+了+≤X(Y十2)+Y(z+X)+2(X+j，J，即X+Y+z≤~／f—z一l+~／rz—一2+⋯磊+~／r—一",／—xy+y—z+z．z：所以，～Xz+考z+志将上面个不等式相加得≥譬(高)(，蓦志：一(±．±兰)±．±兰f2Jxy+yz+zx≤②因为(z++2)~3(xy+yz+Z,．TC)，又由柯西不等式得所以x+Y+≥3(xy+yz+)，于是X+焘+志≤③由柯西不等式得(收稿日期：2009一l2—28)蚤耋击蚤耋(1+)≥，2z2④