科技信息0职校论坛0SCIENCE＆TECHNOLOGYINFORMATION2008年第11期柯西不等式的证明与推广应用徐丽君(丽水中等专业学校浙江丽水323400)【摘要】本文给出了柯西不等式的证明方法，并把它应用到距离问题与极值问题，进一步探讨它的两种推广形式及应用。说明柯西不等式与它的推广的使用方法和技巧，揭示柯西不等式在数学领域中的广泛应用。【关键词】柯西不等式；应用；推广柯西是法国数学家，1789年8月21日出生于巴黎，他对数论、代等号成立当且仅当(=，，⋯)数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究，并获得了许多重要成果．著名的柯西不等式就是其中之一。此不等式一般参且∑2／∑6：2／62时成立。考书上采用构造函数、利用判别式来证明，而本文给出了三种简捷证i=1i：l明法、利用二次型法、数学归纳法。此不等式导出了距离公式。再将它bFbJ应用到求极值的问题上．证明方法还列举了柯西不等式的两种推广形、．．／6：：∑／∑6(=1，2，⋯)式和应用。i：1i：11．柯西不等式证明方法及其应用·．．／6=吗／6』：％／6(i4=1，2，⋯)1．1证明方法’．．／6F／6(f=1，2，⋯+1)定理1设a／、b为任意实数(1，2，⋯n)，则综上所述，(1)式成立。2，n1．2柯西不等式的应用f∑)≤∑q∑6(1)利用柯西不等式我们能够简便证明初等数学中较复杂的代数不其中等号当且仅当a／与b成比例时成立。等式、几何不等式以及导出点到直线的距离公式，在此不再赘述。现在证明1(简捷证明)讲一下利用柯西不等式导出空问一点到平面的距离与极值问题。例1利用柯西不等式推导空间一点p(xe,yo,zo)到平面a：ax+By+设A：∑oi2B：∑bc=∑cCz+D=O的距离公d=lAxo+Byo+Cz0+DI／、／I2r解：设pll、Yl、ZI)是平面a'．Ax+By+Cz+D=O上任一点，则Axl+l+则等奎害+熹譬=。耋(+害)≥／窆=12争=z+D=0则lPPl=v瓦『『的最小值就是P到平面Ot的距离所以+1I>2即AB>~C2由柯西不等式。得、／~f(Xo-XI)2+(Yo-YI)2+(Zo-ZI)2一证明2(利用二次型)≥IA(XO-X1)+BOr『y1),-}-C(z0I=IA0+ByCzo+DI0≤∑(+6。，)z_{∑2f∑。)xy+{∑6)即lPP。l=lAx。+B+旷hDl／、／当且仅当PPJ_平面即关于、Y的二次型非负定，因此时取等号即点P(0)到平面a'Ax+By+Cz+D=O的距离公式是d=∑∑IAx0+Byn+0十DI／、／fr例2(极值问题)如果计·慨1，q>0那么当且仅当arx1一．=∑。∑6I>0此即式(1)时／)=口1⋯+的最小值是1／(1／al+⋯+1证明：1+⋯+‰=——=二二I、／嘶1+⋯+——=二_、／证明3(数学归纳法)、／al、／％当n=l时，显然成立。当n=2时≤(1／al+⋯+1／％)‘(alx1+2⋯+0‘2(1bl+_=21b12+2口lb,oab2+a2b2≤l2b21+l2b2+a2b2l+a2b即alx1a⋯+珥≥1／(1／al+⋯+12当且仅当、／1／——一一．、／／—一即arx,。一·时=(2。2)(62+62)、／alV％等号当且仅当a~b2=oab时成立。／=l⋯+的最小值是1／(1／a~+⋯+liar)2这是个条件极值问题，是在+⋯：1条件下才成立。若把这个条件变成。慨⋯慨，l2=Ⅱ，求，)+⋯的最大值，同样也能得出。假设当n=k时成立，即f∑)≤∑∑6．只需1-Ix⋯(11+⋯+1’≥2+⋯慨即na>I(x12+⋯等号当且仅当弓6(=1，2，⋯)时成立。亦即：+⋯≤、当且仅当F⋯等号成立。由此可得／那么，当n=k+l时，k~l“1、f、)。⋯的最大值是、。这两个极值原理能够更方便的解决i∑12i∑：16=f、i∑+)f∑6)中学数学与数学竞赛题中一些求极值问题。：1，l=1／2．柯西不等式的推广：∑bi2+b∑∑6I2+b定理2>0i=1，2⋯mj=l，2⋯n，m，n∈N，m≥2，n≥2，贝IJ／l∑ma／laa⋯‰＼)≤{，∑＼){／∑m＼I．．．I，∑m‰n＼)(2)≥∑q∑6+261／∑∑6+2当且仅当all：口n：⋯：吼n21：：⋯：Ⅱ2．t=⋯=‰1：％：⋯：‰时等号成立。／≥f∑)+26626。证明：记∑=q。：蟛⋯：％．．．．：‰=i=l，¨l＼2(2)式甘(+⋯+≤(S1S2⋯“=f∑){=》(++⋯+7／(SlS2⋯S≤1科技信息0职校论坛0SCIENCE＆TECHNO