高等数学中不等式证明的研究一、用单调性证明不等式一般方法：构造辅助函数→判定单调性→得所证不等式。基本依据：若f()x在(,ab)内单增f()afxfb()()；若f()x在(,ab)内单减f()bfxfa()().11例1（91）求证：0x时，ln(1).x1x111证明：令fx()ln(1)ln(1x)lnx(0x)，xx11x1111则fx()0，故f()x在(0,)单减，1(1)(1)xxx22xx11Fx()F()limFx()limln(1)0，xxxx111所以0x时，ln(1).x1xxx例2（99）求证：0x时，sin.2xsinx1证明：若令fx()sin，证明过程比较麻烦，我们可令fx()2，2πx1xxxcosxsincosxx则fx()2222(tan)0，f()x在(0,上单减，xx22221xx故fx()f()，即sin.2例3（93）求证：bae时，abba.(常数不等式一般化为函数不等式证明)lnablnlnx分析：abbabaablnln，可令fx()(xe)，证f()x单减；abx或者abbabaalnlnb，证xlnaaxxaln()，可令f()xxaaxxalnln()，证fx()0.lnx1lnx证明：方法①令fx()(xe)，则fx()0，所以f()x在(e,)单减，又xx2lnablnbae，所以，即abab.abaa方法②令fx()xlnaaln(xxae)，则fx()lna0(lna1,1)，xx所以f()x在(,a)单增，所以fx()fa()0，xlnaaxxaln()，特别地令xb，1得baablnln，即abba.例4（92）设fx()0,(0)f0，证明：xx120,0，有f()()(x12xfx1fx2).证明：令gx()f(x11x)f(x)f()(xx0)，则gx()f(x1x)f()x，又fx()0，f()x在(0,)单减，而x1xx，故f()(xx1fx)，gx()f(x1x)f()x0，gx()在(0,)单增，故gx()g(0)0，从而有fx()11xfx()(fx()x0)，特别地令xx2，有f()()(x12xfx1fx2).例5（06）证明：0ab时，bbsin2cosbbaasin2cosaa.证明：令fx()xsinx2cosxx(0x)，则fx()xcosxsinx2sinxxxcossinx，f(xxxx)cosxsincosxxsin0.f()x单减，fx()f()0，f()x单增.又0ab，f()bfa()，即原不等式成立.二、用中值定理证明不等式一般方法：构造辅助函数→据拉格朗日中值定理得等式→由的范围得所证不等式。4例6（04）设eeab2，证明：ln22baln(b).ae2fb()fa()证明：令f()xxln2，在ab,上用拉氏定理，得f()，即baln22balnlnlnx2(,)ab(e,e)2，再令gx()(exe2)，bax1lnx2ln4gx()0，gx()单减，gg()(e)2，从而2，xe2e2即原不等式成立.4注：也可令f()xxln22lnaxa()(eaxe2)，证fx()0.e2三、用最值证不等式（含≥或≤号）一般方法：构造辅助函数→求其最大（小）值→得所证不等式。基本依据：若f()a为f()x在I上的最大值f()xfa()；若f()b为f()x在I上的最小值f()xfb().2例7.（99）证明:x0时，(1)lnx2x≥(1)x2.1证明:令fx()(x221)lnx(x1)，则f(1)0，fx()2lnxxx2，f(1)0，x1fx()2lnx1，f(1)20.x1为极小值点，但不能断定它是最小值点.x20,0x12(