第页第9讲函数模型及其应用【2013年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．【复习目标】函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．基础梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝eq\f(k,x)(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x＞0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝blogax(x＞0，a＞0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)；(7)y＝x＋eq\f(a,x)型(x≠0)；(8)分段函数型．2．三种函数模型性质比较y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与轴接近平行随x值增大，图象与轴接近平行随n值变化而不同一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．一个步骤解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．双基自测1．(人教A版教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()．A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析画出函数的图象，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)＞f(x)＞h(x)．答案B2．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为()．A．8℃B．78℃C．112℃D．18℃解析由题意，下午3时，t＝3，∴T(3)＝78(℃)．答案B3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()．A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案B4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()．A．10元B．20元C．30元D.eq\f(40,3)元解析设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.答案A5．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000.此时标准地震的振幅为0.001.则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由题意M＝lg1000－lg0.001＝6，∴此次地震为6级，设9级地震最大振幅为A9,5级地震最大振幅为A5，则lgA9＝9＋lgA0＝lg109A0，∴A9＝109A0.同理A5＝105A0，∴A9＝104A5，即9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．答案610000考向一一次函数、二次函数模型【例1】►有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有以下公式：P＝eq\f(x,5)，Q＝eq\f(3,5)eq\r(x)，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最