2.2.4点到直线的距离学习目标核心素养1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点)1．通过点到直线的距离公式的推导，培养2．会求两条平行直线之间的距逻辑推理的数学核心素养．离．(重点)2．借助点到直线的距离公式与两平行线间3．点到直线的距离公式的推导．(难的距离公式，提升数学运算的核心素养．点)在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？1．点到直线的距离(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．|Ax＋By＋C|(2)点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝00．00A2＋B2思考：点P(x0，y0)到直线l1：x＝x1的距离是多少？点P(x0，y0)到直线l2：y＝y1的距离为多少？[提示]|x0－x1|；|y0－y1|．2．两条平行直线之间的距离(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C－C|12．A2＋B21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．()(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b．()|m－2n|(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为．()2|m－3n|(4)两直线x＋2y＝m与2x＋4y＝3n的距离为．()5[答案](1)√(2)×(3)√(4)×[提示](1)正确．(2)应是d＝|y0－b|．(3)正确．3m－n32(4)错误．将2x＋4y＝3n化为x＋2y＝n，因此距离为．252．(教材P95练习A①改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是()A．2B．3C．2D．5|0＋0－5|D[由点到直线的距离公式得：d＝＝5．]12＋223．分别过点M(－1,5)，N(2,3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是．3[d＝|2－(－1)|＝3．]4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－2＝0间的距离为．|－7－－2|1[d＝＝1．]32＋425．求与直线l：3x－4y－11＝0平行且与直线l距离为2的直线方程．[解]∵与l平行的直线方程为3x－4y＋c＝0．|c－－11|根据两平行直线间的距离公式得＝2，解得c＝－1或c＝－21．32＋－42∴所求方程为：3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0．点到直线的距离【例1】求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．[解]当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B的距离不相等，故可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0．|－k－2＋2k＋1||3k＋2k＋1|由＝，k2＋1k2＋11解得k＝0或k＝－2．所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0．点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．[跟进训练]1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．[解]①当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0．|3k－1|1由题意知＝2，解得k＝1或k＝－．k2＋17∴所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0．xy②当直线不经过原点时，设所求直线的方程为a＋a＝1，即x＋y－a＝0．|3＋1－a|由题意知＝2，解得a＝2或a＝6．2∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．综上所述，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．两条平行线间的距离【例2】已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－21＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．262[解]l的斜率为k＝，l的斜率k＝＝．11722217因为k1＝k2，且l1与l2不重合，所以l1∥l2，l