第17讲对数函数及其性质模块一思维导图串知识1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的模块二基础知识全梳理（吃透教材）函数模型；模块三核心考点举一反三2．会求简单的对数型函数的定义域；模块四小试牛刀过关测3．会用描点法画出对数函数的简图；4．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.知识点1对数函数的概念1、对数函数的概念：函数ylogx（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为0,．a2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如ylogx，且系数为1；（2）底数a满足a0，且a1；（3）真数是x而不是x的函数；（4）a整体只有一项；（5）定义域为0,．例如，ylog(x1)，y2logx都不是对数函数，可称为对数型函数．223、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数ylgx．（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数ylnx．知识点2对数函数及其性质1、对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0性质当0＜x＜1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；函数值的变化当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数2、底数a对函数图象的影响（1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，图象呈上升趋势；当0a1时，图象呈下降趋势；（2）函数ylogx与ylogx（a0，且a1）的图象关于x轴对称；a1a（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．知识点3反函数1、反函数的定义一般地，函数yf(x)(xA)，设它的值域为C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到xg(y)．如果y在C中的任何取值，通过xg(y)，x在A中都有唯一值和它对应，则xg(y)就表示x是关于自变量y的函数．这样的函数xg(y)(yC)叫做yf(x)(xA)的反函数，记作yf1(x)．例如，对数函数ylogx(a0,且a1)是指数函数yax(a0,且a1)的反函数．a2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称；（2）若函数yf(x)的图象上有一点(a,b)，则点(b,a)必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．考点一：对数函数的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函数是对数函数的是（）xA．ylnxB．ylogx2C．ylogD．ylogx20222a92【答案】A【解析】形如ylogxa＞0,a1的函数叫作对数函数，它的定义域是0,，a对于A，ylnxlogx满足，故A正确；e对于B，C，D，形式均不正确，均错误.故选：A【变式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（）A．ylog2xB．ylg10xC．ylogx2xD．ylnxaa【答案】Dylogx(a0且a1)为对数函数，【解析】因为函数a所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（）ylog(x)ylogxA．1B．y2log(1x)C．ylnxD．4(a2a)2【答案】Cylog(x)y2log(1x)【解析】函数1，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；42函数ylnx是对数函数，C是；函数ylogx的底数含有参数a，(a2a)而a的值不能保证a2a是不等于1的正数，D不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·全国·课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）ylogx2ylnxylogxaA．1B．ylogxC．D．（是常数）4a2a22【答案】CD【解析】对于A，真数是x，故A不是对数函数；对于B，ylogx2logx，真数是x，不是x，故B不是对数函数；42对于C，lnx的系数为1，真数是x，故C是对数函数；217x对于D，底数