几何证明选讲-平行线等分线段定理和平行截割定理一．基础知识回顾1、如图15-1，l1∥l2∥l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM=，EK=，FK=．答案:DM=7.5，EK=6，FK=10；2、如图，ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=EA，AD，BE交于点F，则AF:FD=．答案:AF:FD=4:1；3、一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面积为cm2．答案:240；4、如图15-3，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为cm．AMCEKFBDl1l2l3图15-1ADB┐┐图15-3ABCDFE图15-2答案:440．二．典型例题讲解例1．如图15-4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC，求证：ED=EC．ABEDC图15-4F分析：要证明ED=EC，只要设法证明E在线段CD的垂直平分线上．证明：过E点作EF∥BC交DC于F点．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC．∵E是AB的中点，∴F是DC的中点．∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°．∴EF⊥DC，∴EF是DC的垂直平分线．∴ED=EC．评析：根据平行线等分线段定理可以得到，在梯形中，若已知一腰的中点，那么过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，本题正是利用这一结论再结合线段垂直平分线的性质得证的．平行截割定理的应用很广泛，它体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想，是研究相似形最重要、最基本的理论．ABCDME图15-5N例2．如图15-5，在ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N．求证：AD∶AB=AE∶AC．分析：要证明AD∶AB=AE∶AC，必须找到与AD∶AB和AE∶AC都相等的第三个量．证明：∵AM∥EN，∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC．∵MB=MC，∴AD∶AB=AE∶AC．评析：本题的理论依据是平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．由于直接证明相对较困难，所以利用了中间比进行等量代换，这种方法在有关比例式的证明中经常使用．例3．在梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD上，EF∥AD，AE∶EB=m∶n．求证：（m＋n）EF=mBC＋nAD．你能由此推导出梯形的中位线公式吗？分析：要证明（m＋n）EF=mBC＋nAD，只要证明EF=，又EF与AD、BC都平行，因此比较容易联想到平行截割定理．证明：【方法一】如图（1），连结AC，交EF于点G．ADCBEF（1）G∵AD∥EF∥BC，∴．∴，．∵EG∥BC，FG∥AD，∴，．ADCBEF（2）HG∴EG=，GF=，∴EF=EG＋GF=＋，∴（m＋n）EF=mBC＋nAD．当EF为中位线时，AE∶EB=1∶1，即m=n=1，得2EF=BC＋AD，即EF=（BC＋AD）．【方法二】如图（2），过点B作BG∥CD，交EF于点H，交AD于G．∵AD∥EF∥BC，BG∥CD，∴BC=HF=GD．∵EH∥AG，，∴，EH=．∴EF=EH＋HF=＋HF．∴（m＋n）EF=nAG＋（m＋n）HF=nAG＋mBC＋nGD=mBC＋nAD．AOCBD┐└图15-6评析：这个结果称为线性插值公式．当点E、F在AB、DC的延长线上（或BA、CD延长线上）时，由于AE与EB的方向相反，可以把m∶n理解为负值，在此理解下，此公式仍然成立．证明可仿上面的证明给出．三．精选试题演练1、如图15-6，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO=cm，DO=cm．答案:103.35，55.65；ABCDEE′′D′′C′′B′′A′′图15-72、已知，如图15-7，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，EE′=36mm，则BB′=，CC′=，DD′=．答案:30mm，32mm，34mm；ABCOA′B′C′图15-83、如图15-8，BC∥B′C′，AC∥A′C′．求证：AB∥A′B′．如果BC=2B′C′，那么AB是A′B′的多少倍？提示：∵BC∥B′C′，∴．∵AC∥A′C′，∴．∴，∴AB