∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.几何证明选讲参考答案又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.AD2x6一、平行截割定理与相似三角形易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝.CD6x3【例】解析如图所示，延长、交于点，∵∥1BACDPAD即相似比为6∶3.PAAD2BC，∴＝＝，PBBC5答案6∶3PA2AE3AE3PA14PA14∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝，∴＝.∵AB3EB4AB7AE9PE23二、圆周角定理与圆的切线ADPA14AD∥EF，∴＝＝，又EFPE23【例1】解析连接AD，BC.因为AB是圆O23AD＝2，∴EF＝.的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.723答案7又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACDCDDE∥BC，中，由正弦定理得：＝sin∠DACAEAFDE2【训练1】解析由EF∥CD，⇒＝＝＝，ACADBC3ADAD＝＝BC＝3，DE＝2sin∠ACDsin∠ABD又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，ABsin∠ABD＝＝，又＝，∠AB3CD1AD29sinABD又＝，∴AB＝.AB3212所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝2.933答案22又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.3【例2】证明过点A作AE⊥BC，垂足为E，21答案∴CE＝BE＝BC，由BD⊥AC，AE⊥BC.223【训练】解析连接，因为∠＝，所以∠又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC.1AOOB.ACB30°1AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝BCECAC2AC∴＝，∴＝，AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.DCBCCDBC答案16π即BC2＝2CD·AC.【训练2】解析因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以【例2】解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.AEDE36＝，即＝，所以BC＝10.又DF∥AC，所以四边形ACBC5BC又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEABDECF是平行四边形，故BF＝BC－FC＝BC－DE＝10－6＝∴△EAB∽△ABC，∴＝.ACBC4.EFBEABEF又AE∥BC，∴＝，∴＝.答案4AFACBCAF【例3】解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，又AD∥BC，∴AB＝CD，∴∠ACB＝90°CDEF5EF∴AB＝CD，∴＝，∴＝，设AD＝x，∵CD⊥AB于D，BCAF86∴由射影定理得CD2＝AD·DB，3015∴EF＝＝.84即62＝x(13－x)，15∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，答案4x2＝9.【训练2】证明(1)因为AC＝BD，∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9所以∠BCD＝∠ABC.又因为与圆相切于点，故∠＝∠，【训练3】解析如图所示，在Rt△ACB中，ECCACEABCCD⊥AB，由射影定理得：所以∠ACE＝∠BCD.因为∠＝∠，∠＝∠，CD2＝AD·BD，(2)ECBCDBEBCBCDBCCD又∵AD∶BD＝2∶3，令所以△BDC∽△ECB，故＝，BEBCAD＝2x，即BC2＝BE×CD.BD＝3x(x＞0)，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.三、圆幂定理与圆内接四边形【例】解析延长交圆于另一点，易知＝，1DOOFOD1【训练3】证明(1)如图，连接BC.则AD＝AO2＋OD2＝5.由相交弦定理得，AD·DE＝∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.35∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.BD·DF，即5·DE＝1×3，DE＝.5又∠EAG＝∠BAC，35答案∴∠ABC＝∠AEG.5又∠FDC＝∠ABC，3【训练1】解析依题AP＝PB＝a，由PD·CP＝AP·PB，2∴∠FDC＝∠AEG.AP29∴∠FDC＋∠CEF＝180°.得CP＝＝a.PD8∴C，D，F，E四点共圆．9答案a8(2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，【例2】解析如图所示，连接CE，∵PA是⊙O的切线，PBC∴GH2＝GC·GD.是⊙O的割线，由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF.∴△GCE∽△GFD.GCGE∴＝，GFGD即GC·GD＝GE·GF.∴CH2＝GE·GF.∴PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.高考题练习∵PA切⊙O于A，3∴∠PAB＝∠ACP.1．【答案】又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA.【解析】