几何证明选讲分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)1.(2012·镇江调研)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解因为△ABE∽△ADC，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，即AB·AC＝AD·AE.又S＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC，且S＝eq\f(1,2)AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.2.(2011·江苏卷)如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE.[来源:学科网]∵圆O1与圆O2内切于点A，∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2)，∴AB∶AC为定值．3.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.4.(2012·苏州市调研(一))如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N.若AC＝eq\f(1,2)AB，求证：BN＝2AM.证明连结MN.因为CM是∠ACB的平分线，所以∠ACM＝∠NCM，所以AM＝MN.因为∠B＝∠B，∠BMN＝∠A，所以△BMN∽△BCA，所以eq\f(BN,MN)＝eq\f(AB,AC)＝2，即BN＝2MN＝2AM.5.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．(1)证明∵AD∥BC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴eq\f(DC,BC)＝eq\f(DE,DC).∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝eq\f(AB2,BC)＝eq\f(62,9)＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(4,9).又∵PB－PD＝9，∴PD＝eq\f(36,5)，PB＝eq\f(81,5).∴PC2＝PD·PB＝eq\f(36,5)·eq\f(81,5)＝eq\f(542,52).∴PC＝eq\f(54,5).6.如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．(1)证明连接AB，如图所示[来源:Z.xx.k.Com]∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D.又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.(2)解设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①∵根据(1)，可得△ADP∽△CEP，∴eq\f(DP,EP)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(9＋x,y)＝eq\f(6,2)，②由①②，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4))或