分式方程一、分式方程：1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。例5，解方程：。分析：本题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。解：将原方程变形：去分母：方程两边同乘以2(x+3)得：4+3(x+3)=7,去括号：4+3x+9=7移项：3x=7-4-9合并同类项：3x=-6系数化为1：x=-2检验：把x=-2代入原方程左边==2+=，右边==，∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。例6，解方程：=1-。分析：本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。解：原方程变形：=1-去分母：方程两边同乘以(x-7)(x-1)，得：(x-3)(x-7)-(x-5)(x-1)=(x-7)(x-1)-(x2-2)去括号：x2-10x+21-x2+6x-5=x2-8x+7-x2+2合并同类项：-4x+16=-8x+9移项：-4x+8x=9-16合并同类项：4x=-7系数化为1：∴x=-检验：将x=-代入(x-7)(x-1)∵(x-7)(x-1)=(--7)(--1)≠0,∴x=-是原方程的解。注：（1）在进行方程变形中：=，=-。（2）去括号时-(x-5)(x-1)=-(x2-6x+5)=-x2+6x-5，-(x2-2)=-x2+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千万不要忘记同乘以最简公分母(x-7)(x-1)。例7，解方程：。解：原方程化为：，去分母：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)，得：7(x-1)+3(x+1)=6x去括号：7x-7+3x+3=6x移项：7x+3x-6x=7-3合并同类项：4x=4系数化为1：∴x=1检验：把x=1代入x(x+1)(x-1)∵x(x+1)(x-1)=1×(1+1)(1-1)=0,∴x=1是原方程的增根，舍去。∴原方程无解。例8，解方程：--+=0。分析：本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。解法（一）：原方程化为：-=-将方程两边分别通分：=，化简：=，∴=，∴=，去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)：(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)去括号：x2-8x+15=x2-6x+8移项：x2-8x-x2+6x=8-15合并同类项：-2x=-7系数化为1：∴x=检验，将x=代入最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)∵(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=(-2)(-3)(-4)(-5)≠0∴x=是原方程的解。解法（二）：分析：如果一个分式的分子与分母同次或分子的次数高于分母的次数时，可采用竖式除法化简每一个分式。如==1+。解：原方程可变形为：（1+）-（1+）=（1+）-（1+）化简得：-=-将方程两边分别通分：∴=，∴=，去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，得：(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)去括号：x2-8x+15=x2-6x+8移项：x2-8x-x2+6x=8-15合并同类项：-2x=-7系数化为1：∴x=检验：将x=代入(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)≠0，∴x=是原方程的解。二、解分式方程时注意以下几个问题：1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；3、由于分式方程两边同乘以一个含有未