-1-中图分类号：O122.3本科生毕业论文论文题目柯西-西瓦兹不等式的推广与应用作者姓名所学专业名称数学与应用数学指导教师2010年4月30日-2-学号：论文答辩日期：2010年6月5日指导教师：（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：2010年5月30日-3-柯西-西瓦兹不等式的推广与应用摘要：柯西-西瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用，如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-西瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式，同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-西瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明，并给出了它的一些推广和应用。关键词：柯西-西瓦兹不等式；实数域；欧氏空间；概率空间TheGeneralizationandDistortionofCauchy-SchwarzInequalityAbstract:Cauchy-Schwarzinequalityhaswildapplicationsinmanyareassuchasmotionvectorinlinearalgebra,theinfiniteseriesinmathematicalanalysis,theintegralproductoffunction,varianceandcovarianceinprobabilitytheoryetc.Itisusedinthedifferentspaceswithdifferentforms,andhasalotofdistortionsandgeneralization.ThispapersummarizestheformanditsproofofCauchy-Schwarzinequalityintherealfields,calculus,Euclideanspace,probabilityspace,andgivesitsgeneralizationandapplication.Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Realnumberfield;Euclideanspace;Probabilityspace-4-1、柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-西瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,1,2,iiabRin,则有222111nnniiiiiiiabab（1.1）其中当且仅当1,2iibkain(k为常数)等号成立。柯西-西瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设21()0,niiifxxabxR，则222111()(2)0nnniiiiiiiaxabxb由于xR,因此上述不等式的判别式0，则2221114()4()()0nnniiiiiiiabab即222111()()()nnniiiiiiiabab证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数x都有21()0niiiaxbx其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为20AxBxC，其中，22111,,nnniiiiiiiAaBabCb如果0A,不等式显然成立如果0A，因为220AxBxC恒成立，所以20BAC成立即2