第29卷第2期井冈山学院学报(自然科学)V01．29No．22008年2月JournalofJinggangshanUniversity(SciencesandTechnology)Feb．2O08柯西不等式在中学数学中的证明和应用孕斤(吉安市白鹭洲中学，江西吉安343000)[摘要】柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地应用它。可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文通过几个例子来讲述柯西不等式在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值。解方程等问题中的应用。【关键词】柯西不等式；证明；应用【中图分类号】0151．25【文献标识码】A【文章编号】1673—4718(2008)02—0124-02育》教材页的(2练习中有这样一≤()．(窆6)靖司个不等式：求证：(ac+bd)≤(a％．hb2，~、一⋯一一～、+(c+)。这个不等式有很多证明方法，如比较法，显然，当且仅当a,=kb(1，2，⋯，几)时等号成立。构造函数法，构造向量法等都可以很快得出结论。而本文开头提出的问题恰好是柯西不等式的这个不等式为柯西不等式的二维形式，在此基础上二维形式，其证明思路同上，本文就不一一累述。从中发现在攀中学范围誓内灵活要地应茎用柯西不等式2柯西不等式的应用，可一‘一。以使一些较为困难地问题迎刃而解。本文就柯西不2．1证明不等式证明和应用两个方面，探讨其在高中数学中例1的应用：设口，6∈R+，叶6=1，求证：Ⅱ+}”≥4。1柯西(cauchy)不等式的证明【1】证明：1+1=(+)(叶6)(口。6。++．．．+)：≤(++．．．+)：(6+6+【())2】‘【(、／口)(、／6)2】≥⋯+6：)(∈R，=1，2，⋯，几)等号当且仅当口·口2【。、／)+‘、／)】=4它的证明介绍篆如下常数2’⋯现将当==|且仅Lx．当2m,I等可号成肌立且。：分析：从不等式结构上分析，若两边同乘以4，例2：。设∈R(i：1，2，⋯，几)。求证：(口。++⋯nc2i=1。2耋。‘构造类竺于==_鍪的判别式A=b~-4ac,故可．·．(2+2+⋯2)：(J。+J2+⋯+J。)(22+⋯+)≥一元二次函数来证明。‘。。证舭耋6l2当竺：一成(1)若全为O，则结论显然成立；立。舢测艏数墨攀⋯+且大于。的一元二次函数，并且戈)=(一6)≥o，几≥2，求证：)≥)．故厂()的判别式分析：要证明)≥)△_(2)主6≤。靴：1g≥收稿日期：2007—12一Il作者简介：李芹(1979一)，女，江西安福人．在读北京师范大学教育硕士，中教一级，主要研究方向：高中数学教学，第29卷第2期李芹：柯西不等式在中学数学中的证明和应用12521g业1只需证：塑≥凡l口6c，、l‘2R一(竺)：IsinA—sinB—sinC一‘I证明：。．’n(1厶+2厶+3+⋯+(凡一1)厶+(m厶)=所以僦)，+c=2S=．(12+1：!+⋯+1)(1厶+2厶+3厶+⋯+(凡一1)2+帆厶)≥(1％2％3也+(凡一1)+、／)(1)又因O≤口≤1，n∈Ⅳ+且凡≥2，故(1)≥(1％2％3+⋯+、／+、／+VT-=、／、／+、／、／}+(n-1)+帆)．竺±竺±三兰±：：：±(二)±≥．．、／、／~X／—ax+by—+cz·、／+}+}．(旦)n僦+by+c=2S=2．=等即1g塑塑≥一n++≤、／鲁~+bc+ca一=21g旦塾。击≤岍．．2x)≥)．2．2求参数范围例4：已知对于满足等式x~+3yz=3的任意实数，对()，)恒有lax+yl≤2，求实数a的取值范围。’．Iax+yl=古·)，l≤a2+}’厮=师当且仅当4X／332-~x=V3-·即=54∈[2·，．．要使对()，)恒有lax+yl≤2·lax+yl≤23】时即勺≤2一1≤口≤12．3解三角形的相关问题例5：AAC的三边长为a,b、C，其外接圆半径为R，求证：(+62+c)(1++)~36RJL+6239证明：由三角形中的正弦定理得sinA=a，所以丽1=等，同理丽1=等，=等于是左边=(+62+cJ~【,4R2+等+4R2),≥(Ia．’堡——+口Ⅱ．‘—一忆+也．‘丝——)~36R2‘故原不等式得证。例6：设P是VABC内的一点，x,y,z是P到三边a,b，C的距离，R是VABC外接圆的半径，证明：VT-++≤；井冈山学院学报(自然科学)第29卷第2期书的现象。目前，在使用的义务教育课程标准实验教科书共有四套，分别由江苏教育出版社、人民教参考文献育出版社、北京师范大学出