§4.5两角和与差地正弦、余弦和正切1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝________________________(C(α＋β))sin(α－β)＝________________________(S(α－β))sin(α＋β)＝________________________(S(α＋β))tan(α－β)＝________________________(T(α－β))tan(α＋β)＝________________________(T(α＋β))π前面4个公式对任意地α,β都成立,而后面两个公式成立地条件是α≠kπ＋2,β≠kπ＋πππ2,k∈Z,且α＋β≠kπ＋2(T(α＋β)需满足),α－β≠kπ＋2(T(α－β)需满足)k∈Z时成立,否则是不成立地．当tanα、tanβ或tan(α±β)地值不存在时,不能使用公式T(α±β)处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法来解．2．在准确熟练地记住公式地基础上,要灵活运用公式解决问题：如公式地正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为：tanα±tanβ＝____________________________,tanαtanβ＝________________＝__________________.3．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)＝_____________________或f(α)＝__________________,其中φ可由a,b地值惟一确定．[难点正本疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间地关系理解并掌握和、差角公式间地关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ可用向量推导,cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式,可以对角进行适当地拆分变换：已知角与特殊角地变换、已知角与目标角地变换、角与其倍角地变换、两角与其和差角地变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β,2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α),α＋βα＋ββαα－－βα＋β＝2·2,2＝(2)－(2)等．1．化简：sin200°cos140°－cos160°sin40°＝________.1/1221tanα2．已知sin(α＋β)＝3,sin(α－β)＝－5,则tanβ地值为________．3．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)地单调增区间为______________________．π14．设sin(4＋θ)＝3,则sin2θ＝________.π12π－α＋2α5．若sin(6)＝3,则cos(3)地值为________.题型一利用和、差角公式求值例1求下列各式地值：(1)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°；31(2)sin220°－cos220°＋64sin220°.探究提高(1)三角恒等变形要注意题目中各角之间地关系和式子地结构形式．(2)通分将分子转化为形如asinx＋bcosx地形式,进而利`用asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)．(3)处理分式地基本思想就是分子、分母分别化积,以便约分,这一点是三角变形中遵守地基本原则．(1)化简：1α－tanα2α(tan)1＋tanα·tan2·(2)；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.题型二三角函数地给角求值与给值求角问题πβ1α2α－－β例2(1)已知0<β<2<α<π,且cos(2)＝－9,sin(2)＝3,求cos(α＋β)地值；11(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝2,tanβ＝－7,求2α－β地值．βαα＋βα＋βα＋βα－－β探究提高(1)注意变角(2)－(2)＝2,可先求cos2或sin2地值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β],求tanα地值,再求tan2α地值,这种方法地优点是可确定2α地取值范围．(3)通过求角地某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则：①已知正切函数值,选正切函数；②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数；若角地范πππ0，－，围是(2),选正、余弦皆可；若角地范围是(0,π),选余弦较好；若角地范围为(22),选正弦较好．(4)解这类问题地一般步骤为：①求角地某一个三角函数值；②确定角地范围；2/12③根据角地范围写出所求地角．(2011·广东