§2.4函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是________，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是________；③一个奇函数，一个偶函数的积是________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝eq\f(x2＋1,x)；④f(x)＝x3＋1.3．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．5．定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)．当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则f(2013)的值是________.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(9－x2)＋eq\r(x2－9)；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)；(2)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(2＋x,2－x))；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x(x>0)，x2－x(x<0)；))(4)f(x)＝eq\f(lg(1－