§4.7三角函数的最值及应用1．正弦、余弦函数的值域与最值y＝sinxy＝cosx值域[－1,1][－1,1]最大值及条件11x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)x＝2kπ(k∈Z)最小值及条件－1－1x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)x＝(2k＋1)π(k∈Z)2.y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最值及对应条件(1)值域：(2)最大值：，取得最大值的条件x＝．(3)最小值：，取得最小值的条件x＝．[难点正本疑点清源]关于三角函数最值的求法(1)涉及到有范围的三角函数最值求解时，一般要借助三角函数的单调性求解．(2)涉及到图象交点问题或方程有根的问题，往往采用数形结合的思想兼顾三角函数值域的求法．(3)求三角函数的最值时，务必灵活掌握三角函数的和、差、倍、半角公式，在此基础上，借助函数的性质求解．1．函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的最大值为________，此时x＝__________________.2．函数g(x)＝cos2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域为________．3．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为__________．4．若sinα＋sinβ＝eq\f(\r(2),2)，则cosα＋cosβ的取值范围是____________．5．若直线y＝a与函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在[0，π]上有交点，则实数a的范围是__________．题型一可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型值域的求法例1已知函数f(x)＝eq\r(3)(sinx＋cosx)2－2sin2x，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值；(2)求函数f(x)的最小值，并写出此时x的集合．探究提高解答此类问题的方法是先依据三角函数的和、差、倍、半角公式把待求问题转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后借助单调性求解．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2)))上的值域．题型二可化为二次函数型值域的求法例2求函数f(x)＝2－4asinx－cos2x的最大值和最小值．探究提高(1)对于y＝asinx＋bcos2x(a，b≠0)型的函数，求解时可利用“cos2x＝1－2sin2x”把函数转化成关于“sinx”的二次函数求最值．(2)求最值时要注意sinx的范围．(3)如果对称轴不定，还需要结合图象分类讨论．已知函数y＝sin2x－eq\f(1,2)sinx＋1，x∈R，当y取最大值时，x＝α，当y取最小值时，x＝β，且α，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则sin(α－β)＝________.12.等价转化思想的应用试题：(14分)(2011·淮安模拟)已知f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|<2在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上恒成立，求实数m的取值范围．审题视角(1)先利用和、差、倍、半角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后分析“ωx＋φ”的范围，进而求其最值．(2)|f(x)－m|<2恒成立等价于f(x)max－2<m且m<f(x)min＋2.规范解答解∵f(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))))－eq\r(3)cos2x＝1＋sin2x－eq\r(3)cos2x＝1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f