HYPERLINK"http://www.mba100.com"www.mba100.com中国MBA考试网学习资料一元微积分7．1原函数和不定积分的概念7．1．1原函数定义7.1若在区间I上，，有F′(x)=f(x)或Df(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数。例如由可知是x2的一个原函数，-e-x+c（c为任意常数）均是e-x的原函数。1．f(x)在区间I上存在原函数的充分条件是f(x)在I上连续（见本章第四节定理7.4的推论）。2．若f(x)有原函数，则原函数不惟一。3．f(x)的任两个原函数F(x)和G（x）之间只差一个常数。事实上，由，得（F(X)-G(x)）′=0，所以F(x)-G(x)=c（这要用拉格朗日定理来证明，略去）。定义7.1若在区间I上，，有F′(x)=f(x)或Df(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数。例如由可知是x2的一个原函数，-e-x+c（c为任意常数）均是e-x的原函数。1．f(x)在区间I上存在原函数的充分条件是f(x)在I上连续（见本章第四节定理7.4的推论）。2．若f(x)有原函数，则原函数不惟一。3．f(x)的任两个原函数F(x)和G（x）之间只差一个常数。事实上，由，得（F(X)-G(x)）′=0，所以F(x)-G(x)=c（这要用拉格朗日定理来证明，略去）。7．1．2不定积分定义7.2f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记作，其中称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积微分式，x为积分变量。若F(x)是f(x)的一个原函数，，其中c为任意常数。例如7.1.3不定积分与导数（微分）的关系求函数的不定积分是求导数（微分）的逆运算，它们之间有如下关系：（1）（2）例如（3）（4）例如例7.1例7.2例7.3已知，求dF(ex)解y=F(ex)是由y=F(u)和u=ex复合而成的函数，所以或7．2不定积分法7．2．1基本积分公式（积分表）（1）（2）（3）（4）要熟记这些公式，以后求函数的积分，最终都要用到这些公式，对第（1）个公式，要会灵活应用，并熟记下面的结果：7．2．2不定积分的线性性质（1）（2）公式（1）和（2）等价于它也适用于多个函数的线性组合，即直接利用基本积分公式和不定积分的线性性质来求函数不定积分的方法称为直接积分法，或称分项积分法。7．2．3第一类换元积分法（凑微分法）这种方法对应于复合函数微分法或微分形式不变性例如定理7.1若，且，则（7-1）证因为所以式（7-1）成立。用第一类换元积分法求的思路是：按上述定理，通过微分变形，把g(x)dx变为f(u)du的形式，其中为容易积分的函数。微分变形的基本形式有如下1，2，3三类。1．，其中a,b为任意常数。2．3．其他微分变形式，如凑微分法扩大了基本知识分公式的应用范围，把凑微分法与不定积分线性性结合起来使用，可以求非常广泛的初等函数的积分。4．先对被积函数作代数恒等变形，再用凑微分法和分项积分法求积分（如例7.8（3）），下面的例7.9是常见的较简单的有理函数积分。例7.9(1)这是常用的积分，可补充为基本积分公式，最好记住。（2）（3）一般，（4）7．2．3第二类换元法这也是对应于复合函数微分法的积分方法，但它不是直接通过微分变形把难于积分的g(x)dx变形为易于积分的(其中易于积分)，而是令，即，则用第二类换元法求积分的题有以下一些类型：1．令积分变量x=tk，去掉被积函数中的根号。例7.10(1)（2）2．被积函数f(x)中含类型的积分，一般对前两类要令x=αsint或αtant或αsect来去掉根号，这不是考试要求。但这类题，有的结果是知道的。例如由可知，（可作为基本公式，并记住）有时含的积分，也可不作三角换元求其积分，如下例。例7.11求不定积分解原式另一解法：令，即x2=1+u2，两边微分，得2xdx=2udu，于是3．其他类型的第二类换元法在积分问题中，遇到困难和麻烦时，常采用将积分变量换元的方法，在新的积分变量下试试看能否解决问题。如还不能解决问题，再另想办法，也可能是原函数不能用初等函数表示。例7.12求解这里的困难是，所以令，于是ex=t2-1，即x=ln(t2-1)，，所以原式=再如，分母1+ex也是一个麻烦事，所以也可令1+ex=t，当然此题也可如下求积分例7.13求解这里的麻烦是由分母的多项式（1-x）3引起的，如果分母是单项式就好办了，所以令1—x=t，即x=1-t，则dx=-dt，于是原式