动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题，因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学方程。本章的主要内容如下：运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；拉格朗日算子L定义为系统的动能K与势能P的差L=K–P(6.1)系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示，并不一定要使用笛卡尔坐标。动力学方程通常表述为其中，qi是表示动能和势能的坐标值，是速度，而Fi是对应的力或力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。为了说明问题，我们看一个具体例子，假定有如图6.1所示的两连杆的机械手，两个连杆的质量分别为m1、m2，由连杆的端部质量代表，两个连杆的长度分别为d1、d2，机械手直接悬挂在加速度为g的重力场中，广义坐标为θ1和θ2。动能的一般表达式为，质量m1的动能可直接写出势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出对于质量m2，由图6.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分，以便得到速度速度的直角坐标分量为从而动能为拉格朗日算子L=K–P可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩(6.17)将式(6.16)和(6.20）重写为如下形式在方程（6.21）和（6.22）中各项系数D的含义如下：Dii—关节i的等效惯量（Effectiveinertia），关节i的加速度使关节i产生的力矩Dij—关节i与关节j之间的耦合惯量（Couplinginertia）关节i或关节j的加速度分别使关节j或i产生的力矩和Dijj—由关节j的速度产生的作用在关节i上的向心力系数（Centripetalforce）Dijk—作用在关节i上的复合向心力（哥氏力Coriolisforce）的组合项系数，这是关节j和关节k的速度产生的结果Di—作用在关节i上的重力（Gravity）把方程(6.16)、(6.20)与(6.21)、(6.22)比较，我们就得到各项系数的值：等效惯量D11=[(m1+m2)d12+m2d22+2m2d1d2cos(θ2)](6.23)D22=m2d22(6.24)耦合惯量D12=m2d22+m2d1d2cos(θ2)(6.25)向心加速度系数D111=0(6.26)D122=-m2d1d2sin(θ2)(6.27)D211=m2d1d2sin(θ2)(6.28)D222=0(6.29)哥氏加速度系数D112=D121=-m2d1d2sin(θ2)(6.30)D212=D221=0(6.31)重力项为D1=(m1+m2)gd1Sin(θ1)+m2gd2Sin(θ1+θ2)(6.32)D2=m2gd2Sin(θ1+θ2)(6.33)下面给两连杆机械手赋予具体数值，并且对于静止状态（）和在无重力环境中的机械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在下列两种条件下进行:关节2处于锁定状态（）；关节2处于自由状态(T2=0)。在第一种条件下,方程(6.21)和(6.22)简化为在第二种条件下，T2=0，我们可以由方程(6.22)解出，再把它代入方程(6.21)，得到T1现在，取定d1=d2=1，m1=2，而对于三个不同的m2值，分别求出各个系数：m2=1，表示机械手无负载情况；m2=4，表示有负载；m2=100，表示位于外太空(无重力环境)的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允许非常大的工作负载。根据求得的系数以及方程(6.34)和(6.35)，分别对应关节2的四种不同的锁定状态IL和自由状态If，计算关节1的惯量如下表所示（表中IL表示锁定状态，If表示自由状态）。例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定解：连杆1，2的动能分别为：计算各偏导数附：1自由度机械手用Lagrange法求解：总势能为Classisover.Bye-bye!