微积分方法建模数学建模案例分析§12传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。模型（一）（SI模型）模型假设1、人群分为健康者和病人，在时刻这两类人中所占比例分别为和，即。2、平均每个病人每天有效接触人数是常数，即每个病人平均每天使个健康者受感染变为病人，称为日接触率。模型建立与求解据假设，在时刻，每个病人每天可使个健康者变成病人，病人数为，故每天共有个健康者被感染，即又由假设1和设时的比例，则得到模型（1）（1）的解为（2）001模型解释1、当时，达最大值，这个时刻为，即高潮到来时刻，越大，则越小。2、当时，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。模型（二）（SIS模型）在模型（一）中补充假设3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率。模型修正为（时刻每天有病人转变成健康者）（3）（3）的解为（4）可以由（3）计算出使达最大的高潮期。（最大值在时达到）。记，可知00模型解释可知（刻画出该地区医疗条件的卫生水平）为一个阈值，当时，，当时，增减性取决于的大小，但其极限，且愈大，它也愈大。模型（三）（SIR模型）模型假设1、人群分为健康者，病人和移出者（病愈免疫者），三类人在时刻在总人数中占比例分别为，，即2、病人日接触率为，日治愈率，传染期间接触数模型建立与求解随变化规律仍同模型（二），对应有，且于是得到模型（5）从（5）中消去，并注意到的意义，可得（6）求出（6）的解为（7）从（5）中无法得到和的解析解，转到相平面上讨论解的性质。1i1O1可根据（5），（7）及上图分析的变化情况：1、无论如何，，即病人终将消失。2、最终未被感染的健康者比例是方程（8）在内的单根。3、若，则当时，达到最大值，先增后减至0。4、若，则。模型解释1、是一个阈值，当时传染病会蔓延，时就不会蔓延。2、表明愈小，愈大，也愈小，从而愈有利。注：重要参数可由（8）中令（通常开始时很小）得到估计值（其中可由实验得出估计）模型应用1、被传染比例的估计由由（8），当该地区的卫生和医疗水平不变时，就不变，这个比例也不变。2、群体免疫和预防由于当时不会蔓延，故降低也是种手段。由，于是可表示为，即通过群体免疫使初始时刻的移出者比例，就可制止传染病蔓延，但实际上难度很大，因为越大，就要越大（如，则，即有以上人接受免疫），而且这些人在人群中均匀分布。